DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA POTĘGACH CAŁKOWITYCH LICZBY 10

Kompleks zajęć dotyczący przeliczania jednostek miar składa się z czterech odrębnych części, które są jednak nierozerwalnie połączone ze sobą tematycznie w takiej sekwencji, że wiedza wyłożona w zajęciach poprzednich jest niezbędną podstawą do przeprowadzenia następnych.
Czas trwania poszczególnych zajęć w zależności od zdolności ucznia od 1 do 2 godzin lekcyjnych.

      »»»    Działania arytmetyczne na potęgach całkowitych liczby 10

 

Część 0
Intro

Działania arytmetyczne przy użyciu liczb w zapisie wykładniczym ze specjalnym uwzględnieniem tych będących w postaci i  ;  .

Innymi słowy mnożenie i dzielenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10 (czyli podstawa potęgi to 10, zaś wykładnik jest liczbą całkowitą).

Zatem liczby będące całkowitą potęgą 10 to liczby postaci:

1.  ,  ,  ,  ,    … itd.
   
    
2.  ,  ,  ,    … itd.
   
    
3.  ,
   
   uzasadnienie ostatniego wyniku, który wielu uczniom wydaje się dziwny znajdziecie dalej :).

 

Część I
Mnożenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10

Zasadniczy wzór, z którego będziemy dalej korzystać ma następującą postać:

 , gdzie  .      (1)

Uzasadnienie tego wzoru i sposoby korzystania z niego podajemy w poniższych przykładach:

Przykład 1

Zgodnie ze wzorem (1):

 ;

i rzeczywiście:

 .

Przykład 2

Ponownie w zgodzie ze wzorem (1):

 .

Uzasadnienie:

 .

Przykład 3

Także tym razem w zgodzie ze wzorem (1) możemy zapisać:

 ;

bowiem:

 .

Jak widzimy w przypadku kiedy    (czyli są liczbami postaci 1, 2, 3, ...) wzór (1) jest po prostu odbiciem faktu, że przy mnożeniu dwóch liczb ilość zer na końcu jednej liczby i ilość zer na końcu drugiej liczby się dodają.

Zajmiemy się teraz przypadkiem, kiedy w iloczynie    jeden z wykładników jest liczbą dodatnią a drugi ujemną.

Przykład 1

Zgodnie ze wzorem (1):

 .

Uzasadnienie:

 .

Widzimy jak tutaj wzór (1) jest ilustracją faktu, że zera w liczniku i zera w mianowniku się upraszczają i w liczniku zostają 5 - 3 = 2 zera.

Przykład 2

Zgodnie ze wzorem (1):

 ;

bo:

 .

Przykład 3

Zgodnie ze wzorem (1):

 ;

bo:

 .

Tutaj mieliśmy (dwa) 2 zera w liczniku i (pięć) 5 zer w mianowniku, więc po uproszczeniu zostały (trzy) 3 zera w mianowniku.

Przykład 4

Zgodnie ze wzorem (1):

 ;

bo:

 .

Omówimy teraz ciekawy przypadek, kiedy wykładniki m i n są liczbami przeciwnymi, czyli m = 5, n = -5 lub m = -1, n = 1 lub m = 365, n = -365 itd. Wówczas zachodzi:

•  ,
  
   
•  ,
  
   
•  ;

liczba dzielona przez samą siebie zawsze daje jedynkę 1; ale przecież będąc w zgodzie ze wzorem (1) musimy napisać, że:

•  ,
  
   
•  ,
  
   
•  ;

i widzimy teraz (porównując te dwie grupy powyższych zapisów) dlaczego   . Ogólnie możemy powiedzieć, że zawsze zachodzi:

•  .

 

 

Część II
Dzielenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10

Na kilku prostych przykładach pokażemy jak przypadek dzielenia liczb będących całkowitymi potęgami dziesiątki można sprowadzić do przypadku mnożenia takich liczb.

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

UOGÓLNIENIE JEST OCZYWISTE:

 ;

czyli aby zamienić dzielenie na mnożenie po prostu zamieniamy znak wykładnika w dzielniku na przeciwny!!!

Zauważmy też, że wykorzystując wzór (1) - znajdujący się na początku Części I - możemy otrzymać gotowy wzór na dzielenie:

 ; oczywiście   ,

czyli przy dzieleniu wykładniki się odejmują.

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

 

Część III
Mnożenie i dzielenie liczb przez 10 w dowolnej potędze

Przy użyciu wprowadzonego do tej pory aparatu możemy już bez trudności mnożyć i dzielić dowolną liczbę rzeczywistą r przez liczby postaci   , gdzie   .

Najwygodniej jest to robić doprowadzając najpierw liczbę r do postaci wykładniczej (o ile już w niej nie jest); zilustrujemy to na przykładach.

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Oczywiście dzielenie przez liczbę    jest równoznaczne z mnożeniem przez liczbę   .

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

Przykład 7

Przykład 8

Przykład 9

Teraz jesteśmy już w pełni przygotowani do przeliczania jednostek miar!!!

KONIEC zajęć nr 2

Autor projektu: Krzysiek Pilawski
Osadzenie na stronie: Grzegorz Spichał

GÓRA         SZKOŁA