Zbiór

Słowo "zbiór" w matematyce używane jest na ogół w tym samym znaczeniu co w języku potocznym. Mamy więz zbiór jabłek na drzewie, zbiór ludzi w kinie czy zbiór dzielników danej liczby naturalnej.

Zbiór to w matematyce pojęcie pierwotne. Oznacza to, że zbioru nie definiuje się. Pojęcie zbioru jest jednym z podstawowych pojęć matematyki.

Zbiory oznaczamy wielkimi literami alfabetu, np. A, B, C, ...

Zbiór zawiera elementy. Elementy zbioru oznaczamy małymi literami alfabetu np. a, b, c, ...

Fakt, że element a należy do zbioru A zapisujemy a ∈ A.

Zbiór zawierający n elementów a1 ... an oznaczamy przez Zbiór a1 ... an

Do zbioru może należeć skończona lub nieskończona liczba elementów.

Zbiór nie zawierający żadnego elementu nazywa się zbiorem pustym. Zbiór pusty oznaczamy symbolem Zbiór pusty.

Zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami, nazywa się rodziną zbiorów. Na przykład karton papierosów będzie rodziną zbiorów gdy za zbiór uznamy paczkę.

Zbiór skończony można jednoznacznie zdefiniować wymieniając wszystkie jego elementy.

Zbiór zawierający skończenie wiele elementów nazywa się zbiorem skończonym. Zbiór, który nie jest skończony nazywamy zbiorem nieskończonym.

Prosta będąca w istocie nieskończonym zbiorem punktów może być zbiorem skończonym jeśli za jego elementy uznamy dwie półproste i ich punkt wspólny. W ten sposób w zależności od zdefiniowania zbioru, z pozornie tego samego "materiału" możemy uzyskać zbiór skończony i nieskończony. Bardziej dociekliwy czytelnik może spróbować zdefiniować inne "rozbicia" prostej na zbiory zarówno skończone jak i nieskończone.

Zbiorem liczbowym nazywamy zbiór, którego elementami są liczby. Do tej pory zetknęliśmy się z kilkoma nieskończonymi zbiorami liczbowymi. Są nimi zbiór liczb naturalnych: Zbiór liczb naturalnych, zbiór liczb całkowitych: Zbiór liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych (ułamków): Zbiór liczb wymiernych, a także zbiór liczb rzeczywistych.

Zawieranie się zbiorów (inkluzja)

Niech A i B będą zbiorami. Jeżeli każdy element x należy do A jest jednocześnie elementem zbioru B, to zbiór A nazywa się podzbiorem zbioru B. Można również powiedzieć, że zbiór A zawiera się w zbiorze B. Oczywiście każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem (czyli zawiera się w samym sobie).

Zbiór pusty Zbiór pusty. jest podzbiorem KAŻDEGO zbioru!

W przypadku zbiorów liczbowych stosunkowo łatwo wpaść na to, że zbiór N zawiera się w Z, który to z kolei zawiera się w Q, a wszystkie zawierają się w R. W R zawarty jest również stwierdzić zbiór IW (liczb niewymiernych), który z kolei zawiera rozmaite ciekawe podzbiory (na przykład zbiór liczb algebraicznych, zbiór liczb przestępnych). Te ostatnie zresztą, mimo że wymieniłem je na szarym końcu stanowią najliczniejszą grupę liczb pośród liczb rzeczywistych. Tak liczną, że jeśli przyszłoby nam wybrać na chybił trafił dowolną liczbę rzeczywistą, wówczas z prawdopodobieństwem równym 1 trafilibyśmy właśnie liczbę przestępną.

W zapisie logicznym zawieranie się zbiorów określa się następująco: Zbiór A jest zawarty w B

Działania na zbiorach

Na zbiorach, podobnie jak na liczbach można wykonywać działania. Ich wynikiem jest zawsze zbiór. I tak po kolei.

Suma zbiorów

Suma zbiorów A i B to zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B i tylko do tych zbiorów. W istocie suma to po prostu obydwa zbiory potraktowane jako jeden zbiór.

Sumę zapisujemy symbolicznie następująco: Suma A i B

Diagram Venna - suma zbiorów A i B

Suma zbiorów A i B

Przykład 1: Niech W będzie zbiorem liczb wymiernych a IW niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas Suma W i IW jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Przykład 2: Suma przedziałów

Iloczyn zbiorów

Iloczyn zbiorów A i B jest to zbiór elementów należących jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn określamy często częścią wspólną zbiorów, bo jest nią w istocie. Iloczyn zapisujemy symbolicznie tak: Iloczyn A i B

Diagram Venna - iloczyn zbiorów A i B

Iloczyn zbiorów A i B

Przykład 1: Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych a P zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas Suma N i P jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych.

Przykład 2: Iloczyn przedziałów

Różnica zbiorów

Różnica zbiorów A i B jest to zbiór elementów należących do zbioru A ale nie należących do zbioru B. Mówiąc kolokwialnie ze zbioru A "wyrzucamy" wszystko co nie należy do B. Różnicę zapisujemy symbolicznie tak: Różnica A i B

Diagram Venna - różnica zbiorów A i B

Różnica zbiorów A i B

Przykład: Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych a P zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas Różnica N i P jest zbiorem wszystkich nieparzystych liczb naturalnych.

Dopełnienie zbioru

Dopełnieniem zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Inaczej - dopełnienie zbioru A to będzie wszystko to co nie należy do A.

Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako A'. Dopełnienie zapisujemy symbolicznie tak: Dopełnienie zbioru A
Dopełnienie zbioru można również wyrazić poprzez różnicę: Różnica U i A

Diagram Venna - dopełnienie zbioru A

Dopełnienie zbioru A (w przestrzeni U)

Przykład 1: Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.

Przykład 2: Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.

Zatrzymajmy się na chwilę nad pojęciem dopełnienia. Zbiory rozpatrujemy zawsze w pewnej przestrzeni. Nie chodzi tu o przestrzeń rozumianą w sensie potocznym, ale o pewien zbiór, w którym "zanurzone" są rozpatrywane zbiory. Przestrzeń na ogół oznaczamy literami X, Y, Z. I tak na przykład możemy za przestrzeń uznać zbiór liczb rzeczywistych. W takiej przestrzeni możemy rozpatrywać zbiory będące na przykłąd pojedyńczymi liczbami, ciągami, przedziałami liczbowymi. Przestrzenią może być płaszczyzna, na której rozpatrujemy wszystkie figury płaskie (albo tylko trójkąty, kwadraty, etc.). Wreszcie przestrzenią może być "zwykła" przestrzeń trójwymiarowa, w której rozpatrujemy trójwymiarowe bryły - kule, wielościany i inne twory trójwymiarowe. Jest rzeczą trywialną, że dopełnienie zbioru zależy od obrania przestrzeni w której rozpatrywany jest zbiór. Przykład? Dopełnieniem odcinka rozpatrywanego jako podzbiór prostej są dwie półproste, dopełnieniem odcinka rozpatrywanego jako podzbiór innego odcinka może być np. odcinek (lub dwa - kiedy?), a dopełnieniem odcinka rozpatrywanego jako podzbiór samego siebie jest zbiór pusty.

Działania na zbiorach mają pewne własności. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące prawa:

I prawo De Morgana - I prawo De Morgana (dopełnienie sumy = iloczynowi dopełnień)

II prawo De Morgana - II prawo De Morgana (dopełnienie iloczynu = sumie dopełnień)

Prawo przemienno¶ci sumy - Prawo przemienności sumy

Prawo przemienno¶ci iloczynu - Prawo przemienności iloczynu

Prawo ³±czno¶ci sumy - Prawo łączności sumy

Prawo ³±czno¶ci iloczynu - Prawo łączności iloczynu

Prawo rozdzielno¶ci sumy wzglêdem iloczynu - Prawo rozdzielności sumy względem iloczynu

Prawo rozdzielno¶ci iloczynu wzglêdem sumy - Prawo rozdzielności iloczynu względem sumy

Wszystkie te prawa wynikają z definicji działań na zbiorach i ich prawdziwość można sprawdzić samodzielnie.

Iloczyn kartezjański zbiorów

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B to zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b) takich, że a ∈ A, zaś b ∈ B. Zbiór ten oznacza się symbolem A X B. Nazwa iloczyn kartezjański pochodzi od nazwiska Kartezjusza, francuskiego filozofa i matematyka. Przykład: jeśli zbiór A i B będzie zbiorem liczb rzeczywistych, wówczas zbiór A X B będzie zbiorem wszystkich par liczb rzeczywistych, który możemy utożsamiać ze zbiorem punktów na płaszczyźnie (stąd określenie kartezjański układ współrzędnych). Z kolei iloczyn kartezjański dwóch przedziałów liczbowych można utożsamić z pewnym prostokątem na płaszczyźnie (w szczególnym przypadku kwadratem - kiedy?).

I to w zasadzie wszystko co o zbiorach trzeba wiedzieć. Ambitniejszym polecam lekturę ciekawostek o zbiorach.

Gwiazdka :) Gwiazdka :) Gwiazdka :) Gwiazdka :) Gwiazdka :)

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2014 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!