Teoria mnogości

Teoria mnogości, zwana również teorią zbiorów to dział matematyki (a zarazem i logiki matematycznej). Dział ten początkowo wzbudzał wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczął pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. Teoria mnogości przenika na wskroś całą matematykę.

Twórcą teorii mnogości był niemiecki matematyk Georg Cantor. Oprócz niego wielkie zasługi w rozwoju teorii mnogości położyli matematycy - Wacław Sierpiński, Alfred Tarski i Ernst Zermelo. Zermelo ok. 1910 r. zaksjomatyzował teorię mnogości i usunął tzw. antynomię Russella nakładając na konstrukcję zbiorów szereg ograniczeń.

Georg Cantor	Wacław Sierpiński	Alfred Tarski	Ernst Zermelo

Twórcy podstaw teorii mnogości

Omówię teraz podstawowe pojęcia teorii mnogości. Opanowanie ich jest kluczowe w zrozumieniu całej matematyki.

Zbiór

Zbiór to w matematyce pojęcie pierwotne. Oznacza to, że zbioru nie definiuje się, gdyż każda definicja musiałaby zawierać w nazwie słowo "zbiór" (ewentualnie jego synonimy, np. mnogość, wielość, zestaw, kolekcję). Pojęcie zbioru jest jednym z głównych pojęć matematyki. Zbiór zawiera elementy. Elementami może być wszystko co jesteśmy (i nie jesteśmy) w stanie sobie wyobrazić. Na pytanie czy elementem zbioru może być... i tu pada propozycja - odpowiadam zawsze TAK! Zbiór zawierający n elementów oznacza się przez . Do zbioru może należeć skończona lub nieskończona liczba elementów. Do zbioru może nie należeć żaden element, wówczas taki zbiór nazywa się zbiorem pustym. Zbiór pusty oznaczamy symbolem .
Zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami, nazywa się rodziną zbiorów. Na przykład karton papierosów będzie rodziną zbiorów gdy za zbiór uznamy paczkę.
Zbiór skończony można jednoznacznie zdefiniować wymieniając wszystkie jego elementy. Podanie wszystkich elementów zbioru określa ten zbiór jednoznacznie. To znaczy, że jeśli dwa lub większa liczba zbiorów zawierają te same elementy to jest to tak naprawdę jeden i ten sam zbiór. Zbiory oznaczamy wielkimi literami alfabetu, np. A, B, C, itd. Elementy zbioru jak łatwo zgadnąć oznaczamy literami małymi np. a, b, c, itd. Fakt, że element a należy do zbioru A zapisujemy a ∈ A. Zbiór zawierający skończenie wiele elementów nazywa się zbiorem skończonym. Zbiór, który nie jest skończony nazywamy zbiorem nieskończonym.Oczywiście elementami zbioru mogą być inne zbiory. Zbiór skończony może zawierać zbiory nieskończone (np. płaszczyznę możemy potraktować jako zbiór składający się z dwóch półpłaszczyzn (zbiór ewidentnie 2-elementowy), ale każdą półpłaszczyznę możemy potraktować jako zbiór nieskończony - na przykład punktów, prostych, kół i czego jeszcze tam nie wymyślimy). W ten sposób w zależności od zdefiniowania zbioru, z pozornie tego samego "materiału" możemy uzyskać zbiór skończony i nieskończony

Do tej pory w matematyce zetknęliśmy się z kilkoma przykładami nieskończonych zbiórów liczbowych. Był to zbiór liczb naturalnych: , zbiór liczb całkowitych: , zbiór liczb wymiernych (ułamków): , zbiór liczb rzeczywistych.

Wzajemne położenie zbiorów

Niech A i B będą zbiorami. Jeżeli każdy element jest jednocześnie elementem zbioru B, to zbiór A nazywa się podzbiorem zbioru B. Można również powiedzieć, że zbiór A zawiera się w zbiorze B. Albo (rzadziej używane), że zbiór A jest nadzbiorem zbioru B. Oczywiście każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem (czyli zawiera się w samym sobie). Zbiór pusty . ma jeszcze ciekawszą własność gdyż jest podzbiorem KAŻDEGO zbioru! W przypadku zbiorów liczbowych stosunkowo łatwo wpaść na to, że zbiór N zawiera się w Z, który to z kolei zawiera się w Q, a wszystkie zawierają się w R. W R zawarty jest również stwierdzić zbiór IW (liczb niewymiernych), który z kolei zawiera rozmaite ciekawe podzbiory (na przykład zbiór liczb algebraicznych, zbiór liczb przestępnych). Te ostatnie zresztą, mimo że wymieniłem je na szarym końcu stanowią najliczniejszą grupę liczb pośród liczb rzeczywistych. Tak liczną, że jeśli przyszłoby nam losować dowolną liczbę rzeczywistą, wówczas z prawdopodobieństwem równym 1 wylosowalibyśmy właśnie liczbę przestępną.

W zapisie logicznym zawieranie się zbiorów określa się następująco:

Podstawowe działania na zbiorach

Na zbiorach, podobnie jak na liczbach można wykonywać działania. Działania te mają podobne nazwy, ale ich rezultat jest nieco inny niż w przypadku liczb. I tak po kolei.

Suma zbiorów

Suma zbiorów A i B jest to zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B i tylko do tych zbiorów. Sumę zbiorów nazywamy czasem ich złączeniem (ang. union). W istocie suma to po prostu obydwa zbiory połączone w jeden. Sumę zapisujemy symbolicznie tak:

Suma zbiorów A i B

Przykład 1: Niech będzie zbiorem liczb wymiernych a niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Przykład 2:

Iloczyn zbiorów

Iloczyn zbiorów A i B jest to zbiór elementów należących jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn określamy często częścią wspólną zbiorów, bo jest nią w istocie. Iloczyn zapisujemy symbolicznie tak:

Iloczyn zbiorów A i B

Przykład 1: Niech będzie zbiorem liczb naturalnych a zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych.

Przykład 2:

Różnica zbiorów

Różnica zbiorów A i B jest to zbiór elementów należących do zbioru A ale nie należących do zbioru B. Mówiąc kolokwialnie ze zbioru A "wyrzucamy" wszystko co nie należy do B. Różnicę zapisujemy symbolicznie tak:

Różnica zbiorów A i B

Przykład: Niech będzie zbiorem liczb naturalnych a zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich nieparzystych liczb naturalnych.

Dopełnienie zbioru

Dopełnieniem zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Inaczej - dopełnienie nzbioru A to będzie wszystko to co nie należy do A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako A'. Dopełnienie zapisujemy symbolicznie tak:
Dopełnienie zbioru można również wyrazić poprzez różnicę:

Dopełnienie zbioru A (w przestrzeni U)

Przykład 1: Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.

Przykład 2: Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.

Zatrzymajmy się na chwilę nad pojęciem dopełnienia. Zbiory rozpatrujemy zawsze w pewnej przestrzeni. Nie chodzi tu o przestrzeń rozumianą w sensie potocznym, ale o pewien zbiór, w którym "zanurzone" są rozpatrywane zbiory. Przestrzeń na ogół oznaczamy literami X, Y, Z. I tak na przykład możemy za przestrzeń uznać zbiór liczb rzeczywistych. W takiej przestrzeni możemy rozpatrywać zbiory będące na przykłąd pojedyńczymi liczbami, ciągami, przedziałami liczbowymi. Przestrzenią może być płaszczyzna, na której rozpatrujemy wszystkie figury płaskie (albo tylko trójkąty, kwadraty, etc.). Wreszcie przestrzenią może być "zwykła" przestrzeń trójwymiarowa, w której rozpatrujemy trójwymiarowe bryły - kule, wielościany i inne twory trójwymiarowe. Jest rzeczą trywialną, że dopełnienie zbioru zależy od obrania przestrzeni w której rozpatrywany jest zbiór. Przykład? Dopełnieniem odcinka rozpatrywanego jako podzbiór prostej są dwie półproste, dopełnieniem odcinka rozpatrywanego jako podzbiór innego odcinka może być np. odcinek (lub dwa - kiedy?), a dopełnieniem odcinka rozpatrywanego jako podzbiór samego siebie jest zbiór pusty.

Działania na zbiorach mają pewne własności. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące prawa:

- I prawo De Morgana (dopełnienie sumy = iloczynowi dopełnień)

- II prawo De Morgana (dopełnienie iloczynu = sumie dopełnień)

- Prawo przemienności sumy

- Prawo przemienności iloczynu

- Prawo łączności sumy

- Prawo łączności iloczynu

- Prawo rozdzielności sumy względem iloczynu

- Prawo rozdzielności iloczynu względem sumy

Wszystkie te prawa wynikają z definicji działań na zbiorach i ich prawdziwość można sprawdzić samodzielnie.

Iloczyn kartezjański

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B to zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b) takich, że a ∈ A, zaś b ∈ B. Zbiór ten oznacza się symbolem A X B. Nazwa iloczyn kartezjański pochodzi od nazwiska Kartezjusza, francuskiego filozofa i matematyka. Przykład: jeśli zbiór A i B będzie zbiorem liczb rzeczywistych, wówczas zbiór A X B będzie zbiorem wszystkich par liczb rzeczywistych, który możemy utożsamiać ze zbiorem punktów na płaszczyźnie (stąd określenie kartezjański układ współrzędnych). Z kolei iloczyn kartezjański dwóch przedziałów liczbowych można utożsamić z pewnym prostokątem na płaszczyźnie (w szczególnym przypadku kwadratem - kiedy?).

To tyle podstawowych informacji. Dalej czytanie tylko na własną odpowiedzialność. Ale zero strachu, z tego nie będę pyta!

Zatem jeśli lubisz filozofować i odlatywać w kosmos czytaj dalej...

Ciekawostka. Nie może istnieć zbiór wszystkich zbiorów. Gdyby istniał taki zbiór, musiałby on jako jeden ze swoich elementów zawierać samego siebie. Oczywiście można spróbować zdefiniować zbiór, zawierający samego siebie, jednak nie będzie on spełniał aksjomatów, które znajdują się poniżej. Na przykład zbiór obiektów, które nie są psami zawiera samego siebie jako element (wszak zbiór "nie psów" nie jest psem), ale z punktu widzenia aksjomatyki teoriomnogościowej jest do chrzanu.

Paradoks Russela. Rozważmy zbiór V zawierający wszystkie (i tylko takie) zbiory X takie, że X nie jest elementem X.

Zadajmy teraz pytanie - czy V jest elementem V? Jeśli tak, to wtedy V nie spełnia własności elementów zbioru V, więc nie jest elementem V. Jeśli zaś założymy, że V nie jest elementem V, to wtedy (zgodnie z definicją V) V musi być elementem V. W ten sposób dochodzimy do sprzeczności.

U podstaw teorii mnogości, bo tak właśnie nazywa się nauka o zbiorach leżą aksjomaty. Standardowym zestawem aksjomatów teorii mnogości przyjmowanym dzisiaj w matematyce jest system Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru, czyli w skrócie ZFC. I tak oto:

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla

Standardowym zestawem aksjomatów teorii mnogości przyjmowanym dzisiaj w matematyce jest system Zermelo-Fraenkla czyli ZFC. Aksjomaty ściśle definiują co jest zbiorem (a zatem również co nim nie jest). W świetle ZFC obiekt V z paradoksu Rusella NIE JEST ZBIOREM (zatem paradoks znika). Ponieważ przytaczanie wszystkich aksjomatów ZFC mija się z celem, wspomnę tylko, że tzw. aksjomat ekstensjonalności mówi o tym, że Jeżeli zbiory A i B mają te same elementy, to są identyczne, z aksjomatu tego wynika natychmiast aksjomat zbioru pustego (co najwyżej jednego). Najwięcej debat i kontrowersji wśród matematyków budzi aksjomat wyboru, mówiący, że jeśli mamy pewną rodzinę zbiorów, możemy utworzyć nowy zbiór przez wybranie jednego elementu z każdego. Aksjomat wydaje się oczywisty dla zbiorów skończonych. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również oczywisty, lecz jego konsekwencje są zaskakujące (patrz niżej). Aksjomat wyboru ma wiele równoważnych sformułowań, (np. iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty).

Z aksjomatem wyboru łączy się słynny paradoks Banacha-Tarskiego sformułowany przez Stefana Banacha i Afreda Tarskiego w roku 1924. Paradoks polega na tym, że korzystając z aksjomatu wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę rozciąć na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i przesunięć złożyć z nich dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Banach i Tarski początkowo chcieli użyć tego paradoksu jako argumentu za odrzuceniem aksjomatu wyboru, jednakże natura dowodu tego twierdzenia jest taka, że większość matematyków po prostu uznaje fakt, że dzięki pewnikowi wyboru można dojśc do dziwnych i nieintuicyjnych wniosków.

Równoliczność zbiorów

Bardzo ciekawym zagadnieniem teorii mnogości jest badanie równoliczności zbiorów. W przypadku zbiorów skończonych zagadnienie jest trywialne, gdyż możemy policzyć elementy każdego ze zbiorów i je porównać. Gorzej wygląda sprawa ze zbiorami nieskończonymi. No bo na przykład na pierwszy rzut oka zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych nie są równoliczne, gdyż w tym drugim jest "o połowę" mniej liczb. Tymczasem okazuje się, że jest ich "tyle samo". Jak to sprawdzić. Ano prosto. Ponumerować liczby parzyste - 2-ce dać numer 1, 4-ce numer 2, 6-tce numer 3 itd. Ktoś prychnie, pewnie - przecież i tych i tych jest nieskończenie wiele i po co numerować. Niby tak, tylko, że z nieskończonościami jak z liczbami, jedna drugiej nierówna. Okazuje się, że mimo, iż zbiór liczb naturalnych wydaje się całkiem "wielki", to ilość liczb mieszczących się w nim jest niczym przy ilości liczb w przedziale (0, 1) i w ogólności w dowolnym, choćby mikroskopijnym przedziale (a, b). I to nie koniec! Gdybyśmy wzięli wszystkie możliwe podzbiory tego przedziału, wyszłoby że jest ich kolejna "nieskończoność" i to "większa" od poprzedniej. Jak widać, postępowanie to można ciągnąć i ciągnąć (chciałoby się powiedzieć w nieskończoność), otrzymując kolejne nieskończoności. Ufff... Dla niedowiarków poniżej zamieściłem prosty dowód faktu, że moc zbioru liczb rzeczywistych z przedziału [0,1] jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych (metoda przekątniowa).

Każda liczba rzeczywistaz z przedziału [0,1] ma swoje rozwinięcie dziesiętne, skończone lub też nie. Jeśli jest ono skończone, dopisujemy na jego końcu zera tak, by otrzymać rozwinięcie nieskończone. Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału [0,1] liczbami naturalnymi, a następnie ustawić je jedna za drugą, na przykład w ten sposób:

1. 0,267888928717743...
2. 0,271673820983098...
3. 0,219212212222222...
4. 0,342111334423422...
5. 0,213421113344234...
6. 0,954112122893457...
7. 0,739208396716263...
8. ...

Powyższy ciąg miałby zawierać wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału [0,1]. Pokażemy, że istnieje liczba rzeczywista, która jednak w powyższym ciągu na pewno nie wystąpi. W naszej liczbie na pierwszym miejscu po przecinku wstawiamy cyfrę różną od analogicznej cyfry w liczbie numer 1, na drugim miejscu po przecinku wstawiamy cyfrę różną od analogicznej cyfry w liczbie numer 2 etc. (na rysunku odpowiednie cyfry są wytłuszczone). Przykładowa nasza liczba mogłaby wyglądać tak: 0,3452548... Skonstruowana liczba jest na pewno różna od każdej z liczb w ciągu, a przecież w ciągu miały być wszystkie. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych z przedziału [0,1] nie są równoliczne.

Przykłady zbiorów równolicznych (nieskończonych)

1. Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych dodatnich (ułamków). Poniżej pokazałem jak ponumerować wszystkie ułamki. Na czerwono zaznaczono ułamki, które wypadną z naszego ciągu gdyż zostały uwzględnione już poprzednio (np. 2/2, 3/3, 8/6 etc.). Dziwne... ale prawdziwe!
2. Zbiór rozłącznych przedziałów na prostej i zbiór liczb naturalnych. Hmm...
3. Zbiór punktów dowolnych dwóch okręgów. No z tym na upartego możnaby się zgodzić, choć w tym większym okręgu punktów wydaje się być więcej...
4. Zbiór punktów prostej, płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej (a nawet cztero- i więcej). O nie! Nie może być! A jednak...

A oto wspomniany sposób ponumerowania wszystkich dodatnich ułamków. Jeśli ktoś wpadnie na sposób ponumerowania wszystkich ułamków (nie tylko dodatnich), niech natychmiast mnie o tym powiadomi.

Przykłady innych, ciekawych acz dziwacznych zbiorów

Bodajże najsłynniejszym matematycznym "dziwolągiem", niepozornym a kryjącym w sobie wielkie moce, jest zbiór Cantora. Konstruujemy go w następujący sposób: Bierzemy przedział domknięty [0, 1] i w pierwszym kroku dzielimy go na trzy równe części. Następnie wyrzucamy część środkową bez końców, czyli liczb 1/3 i 2/3 (otwartą). W drugim kroku tę samą operację (dzielenia i wyrzucania) wykonujemy na dwóch pozostałych częściach. W kroku n-tym operację wykonujemy na wszystkich otrzymanych do tej pory częściach. Po wykonaniu nieskończonej liczby kroków otrzymamy właśnie. zbiór Cantora. Co dziwi w tym zbiorze to fakt, że choć nie zawiera on żadnego całego odcinka, to nie jest po prostu skupiskiem osobnych punktów. Jest tworem wymykającym się klasyfikacji, czymś pośrednim między odcinkiem a zbiorem osobnych punktów, czymś co nie mieści się w głowie przeciętnemu człowiekowi. Pokazuje to, że w suchej z pozoru i racjonalnej matematyce można odnaleźć całkiem sporą porcję transcendencji...

Poglądowa konstrukcja zbioru Cantora

Krzywa Kocha jest pewną wariacją zbioru Cantora - powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka. Zaraz, zaraz, czy obrazek na dole czegoś nam nie przypomina...?

Krzywa Kocha w wersji zamkniętej

Dywan Sierpińskiego. Na początku rysujemy kwadrat na płaszczyźnie, i dzielimy go na 9 identycznych kwadratów. Następnie usuwamy kwadrat środkowy i... właśnie, powtarzamy poprzedni krok dla pozostałych 9 kwadratów i tak dalej w nieskończoność. Takie dywany możnaby nawet sprzedawać Przepięknie wyglądają i jak się okazuje ich pole jest równe 0 - zatem jakaż oszczędność materiału...

Dywan Sierpińskiego

I jeszcze jeden dywan Sierpińskiego, tym razem w wersji trójkątnej

 

Jeśli ktoś chciał poczytać coś naprawdę ciekawego o zbiorach, niech kliknie tutaj.

GÓRA         SZKOŁA