Wielomiany

W matematyce często napotykamy wyrażenia algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (naturalnej). Wyrażenia te w ogólności nazywamy wielomianami. My jednak będziemy zajmować się przypadkiem, w którym występuje JEDNA zmienna (x). Tak tak, od razu widać, że wielomiany to nic innego niż funkcje (wszak literka x, kojarzy się jak nie z równaniem to z funkcją).

Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję postaci:

W(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

Liczba całkowita nieujemna n jest stopniem wielomianu, a liczby a₀,. .., a_n (an ≠ 0) współczynnikami wielomianu. Wielomian nazywa się całkowitym, wymiernym, rzeczywistym lub zespolonym w zależności od zbioru, z którego pochodzą jego współczynniki. My będziemy zajmować się tylko wielomianami o współczynnikach całkowitych. Składnikami wielomianu są wyrażenia nazywane jednomianami.

Nawet o tym nie wiemy, ale znamy przecież już kilka wielomianów. Poznaliśmy funkcję stałą czyli wielomian postaci f(x) = c, funkcję liniową, czyli wielomian postaci f(x) = ax + b, gdzie (a≠0) i funkcję kwadratową, czyli wielomian postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie (a≠0).

W świecie wielomianów jak w wojsku, istnieją stopnie.

Stopniem wielomianu nazywa się najwyższy ze stopni jego jednomianów (czyli współczynnik stojący przy x w najwyższej potędze)

Wartość wielomianu W(x) dla pewnej liczby p nazywamy to liczbę, którą otrzymuje się po podstawieniu liczby p do wielomianu W(x).

Pierwiastek (rzeczywisty) wielomianu to liczba rzeczywista x, taka że W(x) = 0. Wyraźnie zaznaczam, że chodzi o liczbę rzeczywist, bowiem istnieją (niedosiężne jeszcze dla nas) pierwiastki będące liczbami zespolonymi.

Wielomian W(x) = 0 (wszystkie współczynniki są równe zeru) nazywamy wielomianem zerowym i przyjmujemy, że jego stopień jest nieokreślony (w odróżnieniu od wielomianu stałego W(x) = a₀, którego stopień jest 0).

Na wielomianach, podobnie jak na liczbach możemy przeprowadzać działania. Są to dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, największy wspólny dzielnik, złożenie. Sumą lub różnicą dwóch wielomianów jest wielomian, którego współczynniki przy danej potędze x równe są odpowiednio sumie lub różnicy współczynników w wielomianach, które dodajemy.

Działania na wielomianach

Jeśli:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

Q(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₁x + b₀

to:

P(x) + Q(x) = (a_n+b_n)xⁿ + (a_n-1+b_n-1)x^n-1 + ... + (a₁+b₁)x + a₀+b₀

Wzór ogólny na iloczyn dwóch wielomianów jest bardziej skomplikowany. Algorytm jest już prostszy. Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego, a nastepnie redukujemy wyrazy podobne. Na przykład:

(3x² + 2x - 5)·(x² - x + 1) = 3x⁴ - 3x³ + 3x² + 2x³ - 2x² + 2x - 5x² + 5x -5 = 3x⁴- x³ - 4x² + 7x - 5

Najtrudniejsze jest dzielenie wielomianów. Niech W(x) i P(x) będą danymi wielomianami i P(x)≠0. Istnieją wówczas takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że

W(x) = Q(x)·P(x) + R(x)

Przy czym albo wielomiam R(x) = 0 albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x). Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x). Jeśli reszta R(x) jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x). Wówczas wielomian Q(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x) przez wielomian P(x), a wielomian P(x) nazywamy dzielnikiem wielomianu W(x).

Aby podzielić wielomian W(x) przez wielomian P(x) należy:

1. Uporządkować dwa wielomiany (zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej)
2. Podzielić pierwszy wyraz wielomianu W(x) przez pierwszy wyraz wielomianu P(x)
3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez wielomian P(x) i odjąć od wielomianu W(x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R₁(x)
4. Pierwszy wyraz reszty R₁(x) należy podzielić przez pierwszy wyraz wielomianu P(x)
5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez wielomianW(x) i odjąć od reszty R₁(x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R₂(x)
6. Powyższe punkty powtarzamy do uzyskania reszty równej zero lub reszty, której stopień jest niższy od stopnia wielomianu P(x).
   

Przykład:

Zatem x³ + 5x² + 7 = (x² + 1)(x + 5) + (-x + 2)

Największy wspólny dzielnik wielomianów to wielomian najwyższego stopnia, który jest dzielnikiem obu z nich. Można go znaleźć używając tzw. algorytmu Euklidesa.

Wielomiany, podobnie jak funkcje, można składać.
Na przykład, złożeniem wielomianów (x - 1) i (x³+ 4x) jest wielomian (x - 1)³ + 4(x - 1).

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów. Każdy wielomian rzeczywisty można rozłożyć na czynniki będące wielomianami rzeczywistymi stopnia co najwyżej drugiego. Na ogół rozłożenie wielomianu przysparza trudności. Rozkład wielomianu W(x) możemy przeprowadzić stosując na przykład wzory skróconego mnożenia lub znajdując pierwiastek p i wykorzystując twierdzenie Bézout (dzieląc wielomian W(x) przez (x - p)).

Twierdzenie Bezouta - Uwaga! Ważne - będę z tego gnębił...

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x - p.

Dowód: Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez (x - p), to istnieje taki wielomian V(x), że W(x) = V(x)·(x - p). Jego wartość w punkcie p wynosi W(p) = V(p)·(p - p) = 0. Czyli p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

W drugą stronę, wielomian W(x) przy dzieleniu przez wielomian stopnia n daje wielomian V(x) oraz resztę o stopniu co najwyżej n - 1. Mamy więc W(x) = V(x)·(x - p) + Z(x), przy czym, ponieważ (x - p) jest wielomianem stopnia pierwszego, Z(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej zerowego, czyli po prostu liczbą, którą będziemy oznaczać z. Ponieważ wartość W(x) w punkcie p wynosi zero, to V(p)·(p - p) + z = W(p), czyli V(p)·(p - p) + z = 0, czyli 0 + z = 0, czyli z = 0. Zatem W(x) dzieli się przez (x - p) bez reszty, zatem W(x) jest podzielne przez (x - p).

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Jeśli wieloman W(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ ma współczynniki całkowite, to jego pierwiastki wymierne postaci p/q (jeśli istnieją) muszą spełniać warunek - p jest dzielnikiem a₀, zaś q jest dzielnikiem a_n.

Przykład:

Jednym z 3 pierwiastków (podwójnym) wielomianu 4x³ - 3x + 1 jest liczba 1/2, liczba która spełnia powyższe warunki.

---

Mniej lub bardziej znane fakty ze świata wielomianów

Fakt 1. Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Oczywiście może się zdarzyć, że wielomian nie posiada żadnego pierwiastka. Z gimnazjum wiemy, że istnieją równania kwadratowe nie posiadające rozwiązań (kiedy?). Sprowadza się to do tego, że istnieją wielomiany stopnia 2, które nie posiadają pierwiastków. Zatem wystarczy wziąć iloczyn wielu takich wielomianów by otrzymać wielomian nie posiadający żadnego pierwiastka (rzeczywistego)! Z faktem tym wiąże się inny fakt, mianowicie:

Fakt 2. Wielomian stopnia nieparzystego zawsze ma jakiś pierwiastek.

Przykład. Wielomian (x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1) = (x² + x + 1)·(x² + x + 1) nie posiada żadnego pierwiastka (rzeczywistego). Dlaczego? Ano dlatego, że żaden z wielomianów po prawej stronie nie posiada pierwiastka (rzeczywistego). Widać, że tą metodą zawsze jesteśmy w stanie wskazać wielomian dowolnie wielkiego parzystego stopnia, który nie posiada pierwiastków.

Fakt 3. Jeżeli ułamek (nieskracalny) p/q jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a q jest dzielnikiem współczynnika stojącego przy najwyższej potędze x.

Ponieważ jako rzekliśmy wielomiany są pewnymi funkcjami, co szkodzi pokazać ich wykresy. Niżej znajduje się kilka takich wykresów.

Wygląda znajomo...? Tak! To wielomian f(x) = x² - x - 2 czyli f(x) = (x+1)(x-2)

Wdzięcznie "powyginany" wielomian f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

Jeszcze bardziej "zakręcony" wielomian f(x) = 1/5x³ + 4/5x² - 7/5x - 2

I już zgoła "rosochaty" wielomian f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

Zastanówmy się jakie własności mają wykresy wielomianów w prostokątnym układzie współrzędnych.

• wykres przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0, a₀), gdzie a₀ to wyraz wolny tego wielomianu
• wielomian stopnia zerowego (zerowy też) mają wykres będący prostą równoległą do osi OX
• wykresem wielomianu stopnia pierwszego jest prosta o współczynniku kierunkowym równym współczynnikowi stojącemu przy x
• wykresem wielomianu stopnia 2 jest znana nam dobrze parabola
• wykresem wielomianu stopnia drugiego lub wyższego jest krzywa ciągła, przecinająca oś OX lub styczna do niej w miejscach będących pierwiastkami wielomianu..

Wykresy wielomianów to wdzięczny obiekt do badania metodami analizy matematycznej (punkty przecięcia z osiami, punkty przegięcia, wypukłość, dążenie do nieskończoności itd.)

Z wielomianami wiąże się następujący fakt. Mając dany dowolny (n + 1) elementowy zbiór różnych punktów płaszczyzny istnieje wielomian stopnia co najwyżej n którego wykres przechodzi przez te punkty. Zagadnienie znalezienia tego wielomianu nazywa się interpolacją wielomianową. Interpolacja może służyć na przykład do przybliżania wielomianami innych funkcji .

GÓRA         SZKOŁA