Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa (probabilistyka) wyrósł z badań nad... grami hazardowymi, - w szczególności nad grą w kości. Dzisiaj probabilistyka to obszerny dział matematyki zajmujący się tak zwanymi zdarzeniami losowymi. Teoretyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia losowego odpowiada częstości z jaką w praktyce występuje dane zdarzenie w długich seriach obserwacji. Na przykład, dla każdego jest jasne że prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w rzucie monetą wynosi 1/2. Płynie z tego wniosek, że rzucając monetą 1000 razy liczba orłów będzie wynosić około 500 (oczywiście rzadko będzie to dokładnie 500). Owe odchylenia będą tym mniejsze im większa będzie liczba prób. Ale my tu gadu-gadu a tu pora na Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa.

Zdarzenia elementarne

Pojęciem pierwotnym teorii prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne. Analizując doświadczenie, należy sporządzić listę jego wyników, która musi być kompletna, tzn. doświadczenie nie może zakończyć się wynikiem, którego nie ma na liście oraz każdy wynik umieszczony na liście musi wykluczać wszystkie inne. Elementy tak sporządzonej listy utożsamiamy ze zdarzeniami elementarnymi i oznaczamy ω₁, ω₂, ..., ω_n.

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych związanych z danym doświadczeniem losowym nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy grecką literą Ω.

Zdarzenie jest to dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych.

Przykłady. Przestrzenią zdarzeń elementarnych rzutu kostką do gry jest zbiór Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} gdzie cyfra 1 oznacza wyrzucenie jednego oczka, cyfra 2 dwóch oczek, itd. Moc zbioru zdarzeń elementarnych Ω wynosi 6. Przestrzenią zdarzeń elementarnych 10-krotnego irzutu monetą jest zbiór wszystkich 10-wyrazowych ciągów, o wyrazach = O (orzeł) i R (reszka). Można wykazać, że tym razem moc zbioru zdarzeń elementarnych Ω wynosi 2¹⁰. W przykładzie pierwszym zdarzeniem może być np. zbiór A={1, 2, 3}, który można określić słownie "wypadła liczba oczek mniejsza niż 4" albo B={2, 4, 6} "wypadła parzysta liczba oczek". W przykładzie pierwszym zdarzeniem może być np. "wypadło dokładnie 5 orłów" albo "nie wypadła żadna reszka" lub też "orzeł wypadł za 2, 3 i 6 razem".

Jeżeli Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych, to zdarzeniem losowym (albo po prostu zdarzeniem) nazywamy każdy podzbiór zbioru Ω. Zdarzenia losowe oznaczamy wielkimi literami A, B, C, ... Wśród wszystkich podzbiorów przestrzeni zdarzeń Ω zbiór pusty odpowiada zdarzeniu niemożliwemu, zaś cały zbiór Ω (cała przestrzeń) odpowiada zdarzeniu pewnemu.

Jeżeli wynikiem doświadczenia jest zdarzenie elementarne ω_i oraz ω ∈ A to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że ω_i sprzyja zdarzeniu A.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli Ω jest daną przestrzenią zdarzeń elementarnych i każdemu zdarzeniu jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że:

1. 
2. 
3. 

1. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbą większą lub równą 0.
2. mówi, że dla każdej pary zdarzeń rozłącznych (wykluczających się) prawdopodobieństwo ich sumy równa się sumie prawdopodobieństw.
3. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się z n zdarzeń jednakowo możliwych i wśród nich jest m zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę m/n nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A.

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego jest liczbą należącą do przedziału <0; 1>

Własności prawdopodobieństwa

1. 
2. 
3. 

1. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0
2. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wynosi 1 minus prawdopodobieństwo zdarzenia A
3. mówi, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B jest równe sumie ich prawdopodobieństw pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe dotyczy zdarzeń zależnych. Jeśli wystąpienie jakiegoś zdarzenia powoduje zmianę prawdopodobieństwa wystąpienia innego, to są to właśnie zdarzenia zależne.

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B , nazywamy liczbę:

Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia B₁, B₂, ..., B_n należące do przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω spełniają warunki (*):

1. 
2. 
3. 

1. mówi, że zdarzenia wyłączają się parami
2. mówi, że prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń B_i są niezerowe
3. mówi, że suma zdarzeń B_i równa się całej przestrzeni

to dla dowolnego zdarzenia A należącego Ω zachodzi wzór (*):

Mówimy też, że rodzina zdarzeń B₁, B₂, ..., B_n taka stanowi rozbicie przestrzeni Ω. Ilustruje to poniższy rysunek (dla pięciu zdarzeń).

Zdarzenie A zawiera się w Ω i "zahacza", czyli ma część wspólną ze zdarzeniami z rodziny B₁, B₂, ..., B_n:

Widać, że:

Z faktu, że składniki sumy są zdarzeniami rozłącznymi wynika wzór (*) na prawdopodobieństwo całkowite.

Przydatne jest również twierdzenie Bayes'a pozwalające obliczyć prawdopodobieństwo zajścia warunku B gdy zaszło zdarzenie A. Często stykamy się z zagadnieniami, w których znamy skutek zdarzenia, a chcemy oszacować prawdopodobieństwa różnych możliwych jego przyczyn. Do wyznaczania takich właśnie prawdopodobieństw służy wzór Bayesa.

Wzór Bayesa

Jeżeli:

to:

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli:

w przeciwnym wypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne. Inaczej -zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A i odwrotnie.

Schemat Bernoulliego

To ciąg doświadczeń niezależnych, w których dane doświadczenie powtarzamy n-razy i w którym prawdopodobieństwo zdarzenia A (zdarzenie A-wynik doświadczenia) jest stałe, nie zależy od wyników poprzednich. Sukcesem będziemy nazywać wystąpienie zdarzenia A, a porażką jego niewystąpienie. Oczywiście, jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, to prawdopodobieństwo porażki wynosi 1-p.

W schemacie n-prób Bernoulliego prawdopodobieństwo P_n (k) otrzymania dokładnie k-sukcesów wyraża się wzorem:

Jeżeli (n+1) ∙ p jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów k sukcesów wynoszą (n+1) ∙ p i (n+1) ∙ (p-1) i prawdopodobieństwa ich są równe.
Jeżeli (n+1) ∙ p nie jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów k jest największa liczba całkowita k₀ taka, że k₀ < (n+1) ∙ p.

Ze schematu Bernoulliego można wyliczyć na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia monetą 50 orłów w 100 rzutach. Wynosi ono... no właśnie... ile?

I to w zasadzie z grubsza cała wymagana przeze mnie teoria. Prawdziwe schody zaczynają się na zadaniach. Zwykle nie są one jakieś specjalnie trudne. Może odrzucać tylko to, że czasem występują w nich klimaty cmentarne czyli kości i urny, brrrr 8-). Najtrudniejszym elementem jest przełożenie treści zadania na konkretne zależności.Jak mi się bardzo zechce to podam rozwiązania...

Przykładowe zadania

1. W urnie jest 20 jednakowych kul ponumerowanych od 1 do 20 . Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli, której numer jest kwadratem liczby naturalnej?
2. Oblicz prawdopodobieństwo, że na siedem rzutów kostką co najwyżej dwa razy wypadnie liczba oczek większa od 4.
3. Ze zbioru {1, 2, 3,..., 20} losujemy jedną liczbę. Czy zdarzenia: A – liczba jest podzielna przez 4 oraz B – liczba jest podzielna przez 6, są niezależne?
4. Czy lepiej kupić dwa losy w loterii zawierającej pięć losów, z których dwa są wygrane, czy kupić dwa losy w loterii zawierającej dziesięć losów, z których cztery są wygrane?
5. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństw, że orzeł wypadnie co najwyżej pięć razy?
6. Spośród n różnych punktów prostej (n > 1) wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie są to punkty sąsiednie?
7. Obliczyć prawdopodobieństwo tego , że losowo wybrana liczba ze zbioru A={1, 2...., 1000} dzieli się bez reszty przez 7 lub 13
8. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród 10 osób, 2 osób urodzonych tego samego dnia (niekoniecznie tego samego roku)?
9. Z talii 52 kart wybrano losowo 3 karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wybranych kart jest kier lub figura.
10. Wykazać, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne A’ i B’ są też niezależne.

GÓRA         SZKOŁA