Dowód niewymierności pierwiastka z dwóch

W ramach zgłębiania tajników liczb rzeczywistych w klasie I MJ poleciłem ostatnio zapoznanie się z dowodem niewymierności liczby pierwiastek z 2. Jak na razie kiepsko to idzie, dla tych co daleko mają do książki zamieszczam niniejszym dowód.

Dowód (nie wprost): Przypuśćmy, że jest liczbą wymierną.
Zatem daje się przedstawić w postaci nieskracalnego ułamka
gdzie oczywiście p i q są liczbami całkowitymi i q jest różne od 0.
Wówczas prawdziwa jest oczywiście równość
Równość tą można zapisać w postaci: pp = 2qq.
W rozkładzie p na czynniki pierwsze może występować lub też nie liczba 2, zatem po lewej stronie równości liczba 2 występuje parzystą liczbę razy lub nie występuje w ogóle. Przypatrzmy się teraz prawej stronie równości. Widać, że liczba 2 występuje tu nieparzystą liczbę razy (dlaczego?). Zatem mielibyśmy równość dwóch liczb, w których w jednej czynnik 2 występowałby nieparzystą liczbę razy lub nie występwałby w ogóle, a w drugiej czynnik 2 występowałby parzystą liczbę razy. Czyli założenie, że pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną prowadzi do SPRZECZNOŚCI.

GÓRA         SZKOŁA