Dowód niewymierności pierwiastka z dwóch

W ramach zgłębiania tajników liczb rzeczywistych w klasie I MJ poleciłem ostatnio zapoznanie się z dowodem niewymierności liczby pierwiastek z 2. Jak na razie kiepsko to idzie, dla tych co daleko mają do książki zamieszczam niniejszym dowód.

Dowód (nie wprost): Przypuśćmy, że Pierwiastek z 2 jest liczbą wymierną.
Zatem daje się przedstawić w postaci nieskracalnego ułamka p przez q
gdzie oczywiście p i q są liczbami całkowitymi i q jest różne od 0.
Wówczas prawdziwa jest oczywiście równość p2 przez q2 = 2
Równość tą można zapisać w postaci: pp = 2qq.
W rozkładzie p na czynniki pierwsze może występować lub też nie liczba 2, zatem po lewej stronie równości liczba 2 występuje parzystą liczbę razy lub nie występuje w ogóle. Przypatrzmy się teraz prawej stronie równości. Widać, że liczba 2 występuje tu nieparzystą liczbę razy (dlaczego?). Zatem mielibyśmy równość dwóch liczb, w których w jednej czynnik 2 występowałby nieparzystą liczbę razy lub nie występwałby w ogóle, a w drugiej czynnik 2 występowałby parzystą liczbę razy. Czyli założenie, że pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną prowadzi do SPRZECZNOŚCI.

GÓRA         SZKOŁA         

 
©2007-2010 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”; Wykonanie:
Licencja Creative Commons

Podziękowania:
Marcin Binkiewicz, Gosia Berłożecka, Daria Chmiel, Kasia Gajewska, Przemek „Komin” Gemeinert, Karolina Górska, Małgosia Greczyńska, Olka Grodzka, Marzanna Gryszkiewicz, Iza Jańta, Joanna Konopczyńska, Ola Kruk, Anna Kucharska, Elżbieta Kucińska, Maciej Kwiatkowski, Lina, Emilia Lipińska, Karolina Lipińska, Marlena Malesa, Kamil Mróz, Milena „Mroczek” Najdek, Marcin „Janek” Nawój, Krzysiek Pilawski, Ruda, Agnieszka „Anevie” Rudnicka, Sid, Paweł Skup, Blanka Sobczyńska, Sebastian Stanisławiak, Jacek „Bartek” Szulczewski, Adriana Wasik, Magda Wojciechowska, Zuzia
& „KĄTowi” przyjaciele
Zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Valid XHTML 1.0! Valid CSS!