Funkcja kwadratowa

Funkcję f określoną wzorem f(x) = ax² + bx + c dla a, b, c, x należących do zbioru liczb rzeczywistych, i a ≠ 0 nazywamy funkcją kwadratową.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Gdy współczynnik a jest dodatni to ramiona paraboli są skierowane do góry
Gdy współczynnik a jest ujemny to ramiona paraboli są skierowane w dół

Wykresy funkcji kwadratowej

Z rysowaniem wykresu funkcji liniowej nie było zbyt wielkiego kłopotu. Aby naszkicować wykres funkcji kwadratowej musimy obliczyć współrzędne jej wierzchołka i miejsc zerowych. Do ich obliczenia niezbędny będzie następujący wzór: Δ=b²-4ac. Z deltą, bo o niej mowa zetknęliśmy się przy rózwiązywaniu równań kwadratowych. Funkcja kwadratowa ma 2 miejsca zerowe gdy Δ >0, jedno (podwójne) miejsce zerowe gdy Δ = 0, natomiast gdy Δ <0 miejsc zerowych funkcja kwadratowa nie posiada. Odpowiednie wzory zamieszczę niebawem, choć każdy powinien je już dawno znać.

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (w tej ostatniej postaci nie zawsze).

Postać ogólna funkcji kwadratowej

Postać ogólna to już wspomiany zapis:

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Ładnie pięknie, ktoś powie. Ale po co właściwie jedno i to samo w trzech postaciach? Otóż postać ogólna jako najbardziej tajemnicza zdradza przynależność funkcji kwadratowej do tajnego bractwa wielomianów (o współczynnikach rzeczywistych). Niewiele jednak z niej wynika w sprawie usytuowania wykresu. Otóż znając postać kanoniczną (a raczej umiejąc ją wyprowadzić z postaci ogólnej), umiemy natychmiast narysować wykres funkcji. Ponieważ potrafimy narysować parabolę o danym współczynniku a, której wierzchołek leży w punkcie (0, 0), to umiemy również narysować taką samą parabolę, której wierzchołek będzie miał współrzędne (-b/2a, -Δ/4a). Postać iloczynową posiadają oczywiście tylko funkcje kwadratowe, które mają miejsca zerowe. Aby narysować wykres funkcji z postaci iloczynowej wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka (2 punkty, przez które przechodzi parabola już mamy). No ale jak wyznaczyć współrzędne wierzchołka, pozwólcie że już nie napiszę...

Ciekawostki

Ognisko paraboli. Parabola o wierzchołku w punkcie (0,0) i pionowej osi symetrii posiadająca równanie:

ma ognisko w punkcie (0, 1/4a)

Gdyby parabola była zwierciadłem (takim jednowymiarowym), wówczas wszystkie promienie światła padające na parabolę z góry, równolegle do osi symetrii po odbiciu się od niej skupiłyby się właśnie w ognisku. Nota bene na tej zasadzie działa zwierciadło paraboliczne.

Parabola jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska jest równa odległości od pewnej prostej k. Prostą k nazywamy kierownicą paraboli. Własność tą wykorzystuje narzędzie do kreślenia parabol, zwane parabolografem.

Może wydawać się to szokujące, ale wszystkie parabole mają ten sam kształt. Inaczej - nikt nie zaprzeczy że wszystkie okręgi mają ten sam kształt zaś różnią się tylko wielkością. Zatem sytuacja parabol jest identyczna jak okręgów, z dokładnością do rozmiaru wszystkie są takie same!

GÓRA         SZKOŁA