Granica funkcji

Granica funkcji to jedno z podstawowych pojec matematycznych. Już w starozytności obliczano pola skomplikowanych figur geometrycznych wpisując w daną figurę ciag figur o znanych polach. Podstawy teorii granicy funkcji stworzyli wymieniany już przy okazji ciągów liczbowych Augustin Louis Cauchy oraz niemiecki matematyk Karl Weierstraß.

Karl Weierstraß Augustin Louis Cauchy  
Karl Weierstraß Augustin Cauchy  

My niestety mamy niewiele miejsca i czasu na beletrystykę, zatem musimy pojęcie granicy funkcji uściślić. W tym celu wprowadzimy kilka pomocnicych definicji:

Otoczenie (epsilonowe) punktu

Niech ε>0 i x0 dowolny ustalony punkt. Zbiór (x0-ε x0+ε) nazywamy otoczeniem (epsilonowym) punktu x0. Dlaczego epsilonowym? Ano dlatego, że punkty leżące w tym otoczeniu znajdują się w odległości od x0 mniejszej niż ε.Otoczenie (epsilonowe) oznaczamy U(x0, ε). Oznaczenie ε sugeruje, że mamy do czynienia z czymś małym i tak jest w istocie, z reguły ε jest bardzo małą liczbą dodatnią. I tak na przykład jeżeli obierzemy ε = 1/100i x0 = 1, wówczas otoczeniem (epsilonowym) punktu x0 będzie przedział (99/100, 101/100). Długość tego przedziału równa jest oczywiście czyli 1/50.

To teraz będzie właściwa definicja... a właściwie dwie, ale równoważne:

Definicja Heine'go

Liczbę a nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie x0 jeśli dla każdego ciągu argumentów funkcji zbieżnego do x0 o wyrazach różnych od x0, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest zbieżny do a. Fakt, że granicą funkcji przy x dążącym x0 do jest liczba a zapisujemy:

Granica funkcji

Równoważną definicją granicy funkcji jest:

Definicja Cauchy'ego

Liczbę a nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie x0, gdy dla każdej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0 że dla dowolnego prawdziwa jest implikacja:

Granica wg Cauchy'ego

Możemy to zapisać w bardzo długiej i szpanersko wyglądającej formie:

Granica wg Cauchy'ego

Ufff, ładnie pięknie, ale o co w tym wszystkim chodzi? Jakieś epsilony, jakieś delty? W najprostszych słowach chodzi o to, że "czym bliżej" x do x0, tym bliżej wartości f(x) do a. Jeśli liczba a jest granicą funkcji f w punkcie x0, mówimy, że a jest granicą właściwą. Jeśli wartości funkcji dążą do lub - ∞, mówimy że funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą. Powyższe definicje kryją w sobie dużo subtelności. Po pierwsze nie wymagamy by funkcja w punkcie x0 była określona. W szczególności, w przypadku granicy niewłaściwej funkcja w punkcie x0 nie może być w ogóle określona! No bo gdyby była określona, musiałaby mieć jakąś wartość, różną przecież od lub - ∞.

Granica funkcji

 

Ilustracja graficzna pojęcia granicy funkcji

Podałem już definicje dwóch typów granic. Pora na trzeci. Otóż:

Definicja granicy funkcji f w minus i plus nieskończoności

Liczbę a nazywamy granicą funkcji f(x) w minus (plus) nieskończoności, gdy dla każdego ciągu argumentów dążącego do minus (plus) nieskończoności, wartości funkcji dążą do a.

Gdy a jest granicą funkcji f w plus nieskończoności, piszemy:

Granica

Zapis powyższy oznacza, że jakkolwiek jest wąski pasek a - ε < f(x) < a +ε, to istnieje taka wartość x = m, że cały wykres funkcji y = f(x) na prawo od x = m będzie znajdował się wewnątrz tego paska. Z tego wynika, że prosta y = a jest asyptotą krzywej y = f(x) gdy x → ∞.

Gdy a jest granicą funkcji f w minus nieskończoności, piszemy:

Granica

Zapis powyższy oznacza, że jakkolwiek jest wąski pasek a - ε < f(x) < a +ε, to istnieje taka wartość x = m, że cały wykres funkcji y = f(x) na lewo od x = m będzie znajdował się wewnątrz tego paska. Z tego wynika, że prosta y = a jest asyptotą krzywej y = f(x) gdy x → ∞.

W obydwu przypadkach prostą y = a nazywamy asymptotą poziomą funkcji f(x).

Na koniec powiemy sobie o przypadku ekstremalnym, mianowicie:

Mówimy, że funkcja f(x) dąży do + przy x → +∞, jeżeli dla dowolnie obranej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że dla każdego x > K, F(x) > M. Mówiąc prościej chodzi o to, że gdy argument x wzrasta nieograniczenie, również nieograniczenie wzrasta f(x). Analogicznie wyglądają 3 pozostałe definicje (gdy x dąży do minus nieskończoności i f(x) do minus nieskończoności itd.). Przykładem funkcji spełniającej jeden z powyższych warunków jest funkcja liniowa y = ax + b. Istotnie, jeślu a > 0 to wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentu wzrastają nieograniczenie, a wraz z maleniem nieograniczenie maleją (a jak jest dla a < 0?).

Z pojęciem granicy nierozerwalnie związane jest pojęcie ciągłości funkcji.

 

 

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2012 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!