Granica funkcji

Granica funkcji to jedno z podstawowych pojec matematycznych. Już w starozytności obliczano pola skomplikowanych figur geometrycznych wpisując w daną figurę ciag figur o znanych polach. Podstawy teorii granicy funkcji stworzyli wymieniany już przy okazji ciągów liczbowych Augustin Louis Cauchy oraz niemiecki matematyk Karl Weierstraß.

Karl Weierstraß	Augustin Cauchy

My niestety mamy niewiele miejsca i czasu na beletrystykę, zatem musimy pojęcie granicy funkcji uściślić. W tym celu wprowadzimy kilka pomocnicych definicji:

Otoczenie (epsilonowe) punktu

Niech ε>0 i x₀ dowolny ustalony punkt. Zbiór (x₀-ε x₀+ε) nazywamy otoczeniem (epsilonowym) punktu x₀. Dlaczego epsilonowym? Ano dlatego, że punkty leżące w tym otoczeniu znajdują się w odległości od x₀ mniejszej niż ε.Otoczenie (epsilonowe) oznaczamy U(x₀, ε). Oznaczenie ε sugeruje, że mamy do czynienia z czymś małym i tak jest w istocie, z reguły ε jest bardzo małą liczbą dodatnią. I tak na przykład jeżeli obierzemy ε = 1/100i x₀ = 1, wówczas otoczeniem (epsilonowym) punktu x₀ będzie przedział (99/100, 101/100). Długość tego przedziału równa jest oczywiście 2ε czyli 1/50.

To teraz będzie właściwa definicja... a właściwie dwie, ale równoważne:

Definicja Heine'go

Liczbę a nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie x₀ jeśli dla każdego ciągu argumentów funkcji zbieżnego do x₀ o wyrazach różnych od x₀, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest zbieżny do a. Fakt, że granicą funkcji przy x dążącym x₀ do jest liczba a zapisujemy:

Równoważną definicją granicy funkcji jest:

Definicja Cauchy'ego

Liczbę a nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie x₀, gdy dla każdej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0 że dla dowolnego prawdziwa jest implikacja:

Możemy to zapisać w bardzo długiej i szpanersko wyglądającej formie:

Ufff, ładnie pięknie, ale o co w tym wszystkim chodzi? Jakieś epsilony, jakieś delty? W najprostszych słowach chodzi o to, że "czym bliżej" x do x₀, tym bliżej wartości f(x) do a. Jeśli liczba a jest granicą funkcji f w punkcie x₀, mówimy, że a jest granicą właściwą. Jeśli wartości funkcji dążą do ∞ lub - ∞, mówimy że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą. Powyższe definicje kryją w sobie dużo subtelności. Po pierwsze nie wymagamy by funkcja w punkcie x₀ była określona. W szczególności, w przypadku granicy niewłaściwej funkcja w punkcie x₀ nie może być w ogóle określona! No bo gdyby była określona, musiałaby mieć jakąś wartość, różną przecież od ∞ lub - ∞.

 

Ilustracja graficzna pojęcia granicy funkcji

Podałem już definicje dwóch typów granic. Pora na trzeci. Otóż:

Definicja granicy funkcji f w minus i plus nieskończoności

Liczbę a nazywamy granicą funkcji f(x) w minus (plus) nieskończoności, gdy dla każdego ciągu argumentów dążącego do minus (plus) nieskończoności, wartości funkcji dążą do a.

Gdy a jest granicą funkcji f w plus nieskończoności, piszemy:

Zapis powyższy oznacza, że jakkolwiek jest wąski pasek a - ε < f(x) < a +ε, to istnieje taka wartość x = m, że cały wykres funkcji y = f(x) na prawo od x = m będzie znajdował się wewnątrz tego paska. Z tego wynika, że prosta y = a jest asyptotą krzywej y = f(x) gdy x → ∞.

Gdy a jest granicą funkcji f w minus nieskończoności, piszemy:

Zapis powyższy oznacza, że jakkolwiek jest wąski pasek a - ε < f(x) < a +ε, to istnieje taka wartość x = m, że cały wykres funkcji y = f(x) na lewo od x = m będzie znajdował się wewnątrz tego paska. Z tego wynika, że prosta y = a jest asyptotą krzywej y = f(x) gdy x → ∞.

W obydwu przypadkach prostą y = a nazywamy asymptotą poziomą funkcji f(x).

Na koniec powiemy sobie o przypadku ekstremalnym, mianowicie:

Mówimy, że funkcja f(x) dąży do + ∞ przy x → +∞, jeżeli dla dowolnie obranej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że dla każdego x > K, F(x) > M. Mówiąc prościej chodzi o to, że gdy argument x wzrasta nieograniczenie, również nieograniczenie wzrasta f(x). Analogicznie wyglądają 3 pozostałe definicje (gdy x dąży do minus nieskończoności i f(x) do minus nieskończoności itd.). Przykładem funkcji spełniającej jeden z powyższych warunków jest funkcja liniowa y = ax + b. Istotnie, jeślu a > 0 to wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentu wzrastają nieograniczenie, a wraz z maleniem nieograniczenie maleją (a jak jest dla a < 0?).

Z pojęciem granicy nierozerwalnie związane jest pojęcie ciągłości funkcji.

 

 

GÓRA         SZKOŁA