Funkcje i ich własności

Do zdefiniowania pojęcia funkcji potrzebne będą dwa zbiory i pewne przyporządkowanie. Zbiór X, nazywany dalej zbiorem argumentów funkcji i zbiór Y, nazywany dalej zbiorem wartości funkcji. Funkcja jest to przyporządkowanie każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. W definicji tej kluczowe znaczenie ma słówko "dokładnie" - wystarczy, że jednemu elementowi przyporządkujemy więcej niż jeden element by przyporządkowanie nie było funkcją. Nie ma żadnych zastrzeżeń co do natury zbiorów X i Y. Mogą być to zupełnie dowolne zbiory.

Schemat działania funkcji

My jednak będziemy zajmować się tylko przypadkiem gdy zbiory X i Y będą pewnymi podzbiorami liczb rzeczywistych. Innymi słowy argumentami i wartościami funkcji będą... no właśnie... będą liczby.

Zdanie: f jest funkcją zbioru X w zbiór Y - zapisujemy symbolicznie: f: X → Y

Sposoby określania funkcji

Funkcje można określić za pomocą:
- grafu
- wykresu
- wzoru
- tabelki
- opisu słownego

Graf i tabelka przydatne są gdy zbiory X i Y zawierają skończoną (najlepiej małą) liczbę elementów. W przypadku gdy zbiory X i Y zawierają większą lub wręcz nieskończoną liczbę elementów stosujemy wzór, wykres lub opis słowny. Przykład: funkcję opisaną prostym wzorem y = 2x możemy przedstawić za pomocą opisu słownego: "każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy liczbę dwa razy od niej większą". Oczywiście zarówno zbiór X jak i Y będzie w tym wypadku zbiorem liczb rzeczywistych (dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba dwa razy od niej większa i każda liczba rzeczywista jest dwa większa od pewnej innej liczby). Wykres tej funkcji będzie reprezentować linia prosta przechodząca przez środek układu współrzędnych i zawierająca wszystkie punkty, których współrzędna y jest dwa razy większa od współprzędnej x (chociażby przez punkt o współrzędnych (1, 2)). Graf i tabelka w tym przypadku są oczywiście bezużyteczne.

Terminy związane z pojęciem funkcji

Z pojęciem funkcji związane są następujące terminy:

Dziedzina funkcji czyli zbiór wszystkich argumentów (elementów zbioru X), dla których określona jest funkcja.
Zbiór wartości czyli zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję (wszystkich elementów zbioru Y, które są przyporządkowane elementom ze zbioru X.
Przeciwdziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości, które może przyjmować funkcja. Przeciwdziedzina jest mylona ze zbiorem wartości. Wystarczy zapamiętać, że zbiór wartości zawiera się zawsze w przeciwdziedzinie. Jeśli zbiory te są równe to funkcje nazywamy "na".
Miejsce zerowe funkcji to argument x, dla którego f(x) = 0.

Ważnym pojęciem w teorii funkcji jest pojęcie ciągłości. Odwołując się do intuicji, można powiedzieć, że funkcja ciągła to taka funkcja, której wykres jest linią ciągłą. Dokładniej, mówimy że funkcja jest ciagła w punkcie x gdy wartości funkcji dla argumentów coraz bliższych x zbliżają się coraz bardziej do f(x). Ale to temat na inną, dużo bardziej zawikłaną bajkę.

Monotoniczność funkcji. Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna w danym przedziale, jeśli posiada w nim jedną z czterech własności:
- jest rosnąca (dla dowolnych x₁, x₂ prawdziwa jest implikacja x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂))
- jest malejąca, (dla dowolnych x₁, x₂ prawdziwa jest implikacja x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂))
- jest nierosnąca, (dla dowolnych x₁, x₂ prawdziwa jest implikacja x₁ < x₂ => f(x₁) ≥ f(x₂))
- jest niemalejąca, (dla dowolnych x₁, x₂ prawdziwa jest implikacja x₁ < x₂ => f(x₁) ≤ f(x₂))

Wykres funkcji. Wykresem funkcji f(x) na płaszczyźnie nazywamy zbiór par liczb (x, f(x)), gdzie x jest argumentem funkcji, a f(x) jej wartością. Graficzna postać wykresu to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, f(x)). Osie wykresu funkcji noszą nazwy OY (oś rzędnych) i OX (oś odciętych)

Wykresy funkcji tożsamościowej (y=x) i stałej(y=1)

Funkcja różnowartościowa, parzysta, nieparzysta, okresowa

Funkcja różnowartościowa. Jest to funkcja, która różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.
Innymi słowy dla dowolnych x₁, x₂ prawdziwa jest implikacja f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂
Dobrym (a nawet idealnym) przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja tożsamościowa.

Przykład wykresu funkcji różnowartościowej

Funkcja parzysta. Jest to funkcja, która przeciwnym argumentom z dziedziny przyporządkowuje takie same wartości.
Innymi słowy dla dowolnego x, f(x) = f(-x)
Dobrym przykładem funkcji parzystej jest funkcja y = |x|. Innymi przykładami są funkcje potęgowe, np. f(x) = x², f(x) = x⁴, f(x) = x⁸

Wykresy funkcji parzystych

Funkcja nieparzysta. Jest to funkcja, która przeciwnym argumentom z dziedziny przyporządkowuje przeciwne wartości.
Innymi słowy dla dowolnego x, f(x) = -f(-x)
Dobrym przykładem funkcji parzystej jest również funkcja tożsamościowa. Innymi przykładami są funkcje potęgowe, np. f(x) = x³, f(x) = x⁵, f(x) = x⁷ itd.

Przykłady wykresów funkcji nieparzystych

Uwaga! Jeśli funkcja nie jest parzysta nie oznacza to, że jest nieparzysta. I odwrotnie - jeśli funkcja nie jest nieparzysta nie oznacza to, że jest parzysta. Przytłaczająca "większość" funkcji nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Funkcja okresowa. Funkcja jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba T≠0, taka że dla każdego x: f(x + T) = f(x).
Widać, że funkcja stała jest okresowa, choć to akurat przypadek szczególny. Takimi przyzwoitymi przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne y = sinx, y = cosx, y = tgx.

Przykłady wykresu funkcji okresowej

Inne własności funkcji

Wspomniana już funkcja "na" to funkcja, której zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie.

Funkcję, która jest jednocześnie "na" i różnowartościowa nazywamy wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). Bijekcja przekształca wszystkie elementy obu zbiorów w stosunku jeden do jednego, czyli każdemu elementowi dziedziny odpowiada dokładnie
jeden element obrazu, a każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Funkcję g: Y → X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: X → Y, jeżeli Y = f(X), X = g(Y) i dla każdego x należącego do X zachodzi równość: g(f(x)) = x. Funkcję odwrotną do f oznaczamy przez f ^-1.

A propos przyzwoitości - wszystkie te funkcje, które wbijają nam do głowy w szkole są takie grzeczne i ładne. Uczesane, przylizane i do obrzydliwości albo mówiąc po matematycznemu, nieskończenie schludne. Nie lubimy ich, oj nie... Jednak rzeczywistość matematyczna przypomina raczej dżunglę, w której króluje rosochaty gąszcz i grasują potwory stugębne. Pośród nich nawet te, których wykres jest linią ciągłą stanowią rzadkie okazy. Bo funkcje potrafią naprawdę być krwiożerczymi mutantami. I jak to w matematyce od każdego takiego potwora istnieje nieskończena wielość nieskończenie potworniejszych potworów. I my będziemy je powoli kiełznać. No bo wyobraźmy sobie na przykład funkcję, która określona jest wzorem:
f(x) = 0, dla x będącego liczbą wymierną
f(x) = x, dla x będącego liczbą niewymierną
Jak wygląda jej wykres? Ano pozornie jak dwie proste. Dwie? Jak to możliwe? Ano jedna z nich biegnie sobie spokojnie na ukos, a druga leży na osi OX. Tyle, że ta ukośna zawiera tylko punkty o współrzędnych niewymiernych, a ta pozioma tylko punkty o współrzędnych wymiernych. Obie mają nieskończoną liczbę dziur, i w dodatku nieskończoności te są nieporównywalne. Mamo, mamo tańczymy twista...

Wykres funkcji y = sin(1/x)

A oto kolejny "nieprzyzwoity" przykład. Wykres prościutkiej funkcji y = sin(1/x) dla x > 0. Co się dzieje z wykresem czym dalej w prawo jesteśmy w stanie sobie jeszcze wyobrazić. Po prostu fale są coraz bardziej rozwlekłe. Ale co gdy zbliżamy się do 0, a w szczególności w dostatecznie małym jego otoczeniu? Nota bene wykres powyższej funkcji, gdy dołączy się do niego odcinek [1, 1] na osi Y, jest doskonałym przykładem tzw. przestrzeni spójnej, ale nie łukowo spójnej. Innymi słowy spróbujmy połączyć punkt znajdujący się na tym odcinku z jakimkolwiek punktem znajdującym się na wykresie funkcji.

GÓRA         SZKOŁA