Ciągłość funkcji

Funkcja y = f(x) jest ciągła w punkcie x₀, wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: istnieje granica funkcji w punkcie x₀ i jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli:

Intuicyjnie ciągłą funkcję rzeczywistą określoną na pewnym przedziale można sobie wyobrazić jako funkcję posiadającą wykres, który daje się narysować bez odrywania ołówka od papieru (oczywiście zakładając, że umiemy "narysować" nieskończenie długą linię). Rzeczywiście, rysując taki wykres przesuwamy końcówkę ołówka w poziomie i w pionie. Czym krótszy ruch w poziomie tym krótszy w pionie, w przypadku gdyby krótkiemu ruchowi w poziomie odpowiadał duży skok w pionie, mielibyśmy do czynienia z nieciągłością.s

Z pojęciem ciągłości funkcji nierozerwalnie związane jest pojęcie granicy (patrz Granica funkcji). Mniej formalna definicja ciągłości bowiem brzmi: funkcja jest ciągła w pewnym przedziale jeśli jest w każdym punkcie przedziału określona, w każdym posiada granicę i granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Istnieją dwie podstawowe definicje ciągłości. Jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową. Jakkolwiek cenniejsza dla mnie jest intuicyjne rozumienie pojęcia ciągłości, to niestety znajomośc formalnej definicji może bardzo przydać się na maturze.

Definicja Cauchy'ego

Jeżeli funkcja f spełnia dla ustalonego warunek:

to powiemy, że funkcja f jest ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie x. Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego czyli:

to mówimy, że funkcja f jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze M.

Definicja Heine'go

Powiemy że funkcja f jest ciągła w sensie Heinego w punkcie jeśli dla każdego ciągu (x_n) liczb ze zbioru M, który jest zbieżny do x ciąg wartości jest zbieżny do f(x), czyli:

Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) przyjmujemy za równoważne.

Kilka rysunków...

Wykres funkcji ciągłej

...i kilka wykresów funkcji nieciągłych

Jak widać na powyższych 4 ilustracjach może istnieć kilka rodzajów nieciągłości. W pierwszym przypadku mówimy o ciągłości lewoostronnej (istnieje granica lewoostronna i jest ona równa wartości funkcji w punkcie x₀), w drugim o ciągłości prawoostronnej (analogicznie), w kolejnych 2 przypadkach funkcja jest nieciągła obustronnie (istnieją granice lewo i prawostronne, ale nie są one równe wartości funkcji w punkcie x₀).

Z pojęciem ciągłości wiąże się ważne twierdzenie - Twierdzenie Darboux (o przyjmowaniu wartości pośrednich). Otóż jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> oraz f(a) < f(b) i p ∈ (f(a), f(b)), to istnieje taki punkt c ∈ (a, b) dla którego f(c) = p. Chodzi o to, że funkcja ciągła przyjmująca dwie dane wartości przyjmuje też wszystkie wartości pomiędzy nimi. Co chyba jest zgodne z tak zwaną intuicją.

Szczypta dywagacji na temat ciągłości

Wszystkie funkcje elementarne (czyli funkcje wielomianowe, trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne, logarytmiczne, wykładnicze, pierwiastkowe itp. oraz ich kombinacje) są ciągłe. Z drugiej strony mamy na przykład funkcję, która nie jest nigdzie ciągła, można by rzec funkcję idealnie nieciągłą - funkcję Dirchleta (przyjmującą wartość 1 dla liczb wymiernych i 0 dla niewymiernych). Funkcję tę można nieznacznie "uciąglić". Jeśli oznaczymy funkcję Dirchleta jako y = D(x) i zdefiniujemy nową funkcję y = x·D(x) to okaże się, że funkcja ta będzie ciągła w punkcie x = 0! I tylko w tym punkcie.

Z pojęciem ciągłości ściśle związane jest pojęcie granicy funkcji.

Przykłady ciągłości z "życia" wzięte

Prędkość jest funkcją ciągłą czasu. Jaki wniosek z tego płynie? Otóż czym krótszy przedział czasowy tym mniejszy wzrost prędkości, innymi słowy nie może być sytuacji by poruszający się obiekt gwałtownie (skokowo) zwiększył swą prędkość. W zasadzie w ogromnej większości przypadków posługujemy się w fizyce funkcjami ciągłymi. Ale czy aby na pewno rzeczywistość jest tak "ślicznie" ciągła? Doskonały artykuł na ten temat można znaleźć tutaj.

GÓRA         SZKOŁA