Ciągi liczbowe

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze N liczb naturalnych o wartościach rzeczywistych. Innymi słowy nadajemy liczbom numery porządkowe i w ten sposób otrzymujemy nieskończony ciąg. Zwyczajowo, zamiast f(n) piszemy (an), gdzie an oznacza n-ty wyraz ciągu.

Przykłady ciągów liczbowych

1, 1, 1, ... - (an= 1) - ciąg stały (w nieskończoność same jedynki, oczywiście zamiast jedynki może być dowolna liczba rzeczywista)

1, 2, 3, 4, 5, ... - (an= n) - ciąg tożsamościowy (liczby naturalne ustawione w kolejności rosnącej)

1, 3, 5, 7, 9,... - (an= 2n-1) - ciag liczb naturalnych nieparzystych

2, 4, 6, 8, 10,... - (an= 2n) - ciag liczb naturalnych parzystych

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... - (an= 1/n) - ciąg harmoniczny

1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, ... - (an= (-1)n1/n) - ciąg anharmoniczny

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...(an= an-1+an-2) - ciąg Fibonacciego (zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich).

Można wykazać, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi n-ty wyraz ciągu Fibonacciego

Monotoniczność ciągów

Ponieważ ciągi są funkcjami, rządzą nimi te same prawa. W szczególności ciągi mogą być monotoniczne. I tak:

Ciag liczbowy (an) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Ciąg rosnący

Przykład? Choćby ciąg tożsamościowy 1, 2, 3, ...

Ciag liczbowy (an) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Ciąg niemalejący

Przykład? Ciąg 1, 2, 2, 3, 3, 3 ... (każda liczba naturalna wypisana tyle razy ile wynosi jej wartość)

Ciag liczbowy (an) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Ciąg malejący

Przykład? znany nam już ciąg harmoniczny 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... ()

Ciag liczbowy (an) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Ciąg nierosnący

Przykład? 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -3, -3, -3, -4, -4, -4, -4 ...

Ograniczoność ciągów

Ciągi mogą być ograniczone. Ograniczone z góry, z dołu a także i z góry i z dołu. Cóż to znaczy?

Ciag liczbowy (an) nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Ciąg nierosnący

Na przykład ograniczony z góry jest ciąg harmoniczny. Wystarczy obrać C = 1.

Ciag liczbowy (an) nazywamy ograniczonym z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Ciąg nierosnący

Na przykład ograniczony z góry jest ciąg tożsamościowy. Wystarczy obrać c = 0.

Ciag liczbowy (an) nazywamy ograniczonym (domyślnie z góry i z dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Ciąg ograniczony

Ciąg 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... jest ograniczony (z góry i z dołu). Wystarczy obrać M = 1.

Ciąg arytmetyczny

Pewnym szczególnym (nazwijmy go brrr. szkolnym) przypadkiem ciągu jest ciąg arytmetyczny. Jest to ciąg liczbowy, w którym różnica dwóch sąsiednich wyrazów jest stała. Stała ta nazywaną jest różnicą ciągu. Oczywiście najprostszym przykładem takiego ciągu jest nasz poczciwy ciąg tożsamościowy, bo jak łatwo zgadnąć różnica dwóch sąsiednich wyrazów tego ciągu jest = 1. Ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (różnica wynosi 2), natomiast ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (dlaczego?). Oficjalna definicja ciągu arytmetycznego brzmi:

Ciąg liczbowy (an) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby r (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi:

Ci±g arytmetyczny

można to ująć inaczej, (an) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy gdy:

Ci±g arytmetyczny

Łatwo wykazać, że ciąg arytmetyczny o różnicy r ma następujący wzór ogólny:

an ci±gu arytmetycznego

a także:

an ci±gu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest zawsze ciągiem monotoniczmym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, powstaje z przemnożenia poprzedniego przez pewną stałą liczbę różną od zera, którą nazywamy ilorazem ciągu. Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich. Ciąg geometryczny nazywany jest czasem postępem geometrycznym. Oficjalna definicja ciągu arytmetycznego brzmi:

Ciąg liczbowy (an) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeśli dla pewnej liczby q ≠ 0 (nazywanej ilorazem ciągu) zachodzi warunek:

Ci±g geometryczny

Przykład: Ciąg: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 2. Ciąg: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 1/2. Także ciąg: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = -1.

Łatwo wykazać, że ciąg geometryczny o ilorazie q ma następujący wzór ogólny:

an ci±gu geometrycznego

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego:

Suma n wyrazów ci±gu geometrycznego

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. Jeśli iloraz jest dodatni, ciąg geometryczny jest rosnący gdy q > 1, zaś malejący gdy q < 1.

Odrobina historii

Wśród matematyków zajmujących się ciągami liczbowymi z pewnością na uwagę zasługuje francuski matematyk Augustin Cauchy. Opublikował on setki traktatów i 789 publikacji obejmujących badania nad teorią ciągów (sprecyzował m.in. pojęcie zbieżności ciągu). Warto również wymienić tu jego rodaka Jeana Le Rond d'Alemberta. W dziedzinie badania szeregów (funkcyjnych) olbrzymie zasługi położył inny francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier.

Augustin Louis Cauchy Jean d'Alembert Jean B. J. Fourier
Augustin Cauchy Jean d'Alembert Jean B. J. Fourier
Wielka "trójka" twórców podstaw teorii ciągów i szeregów liczbowych

I to w zasadzie wszystko co o ciągach trzeba wiedzieć. Ambitniejszym polecam lekturę granice ciągów.

Gwiazdka :) Gwiazdka :) Gwiazdka :) Gwiazdka :) Gwiazdka :)

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2014 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!