Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze N liczb naturalnych o wartościach rzeczywistych. Innymi słowy nadajemy liczbom numery porządkowe i w ten sposób otrzymujemy nieskończony ciąg. Zwyczajowo, zamiast f(n) piszemy (a_n), gdzie a_n oznacza n-ty wyraz ciągu.

Wśród matematyków zajmujących się ciągami liczbowymi z pewnością na uwagę zasługuje francuski matematyk Augustin Cauchy. Opublikował on setki traktatów i 789 publikacji obejmujących badania nad teorią ciągów (sprecyzował m.in. pojęcie zbieżności ciągu). Warto również wymienić tu jego rodaka Jeana Le Rond d'Alemberta. W dziedzinie badania szeregów (funkcyjnych) olbrzymie zasługi położył inny francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier.

Augustin Cauchy	Jean d'Alembert	Jean B. J. Fourier

Wielka "trójka" twórców podstaw teorii ciągów liczbowych

 

Pojęcie ciągu liczbowego przybliżają proste przykłady.

Przykłady ciągów liczbowych

1, 1, 1, ... - (a_n= 1) - ciąg stały (same jedynki w nieskończoność, oczywiście zamiast jedynki może być dowolna liczba rzeczywista)

1, 2, 3, 4, 5, ... - (a_n= n) - ciąg tożsamościowy (same liczby naturalne i to po kolei)

1, 3, 5, 7, 9,... - (a_n= 2n-1) - ciag liczb nieparzystych dodatnich

2, 4, 6, 8, 10,... - (a_n= 2n) - ciag liczb parzystych dodatnich

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... - (a_n= 1/n) - tak zwany ciąg harmoniczny (nazwa pochodzi z fizyki, zapytajcie Jądrowego)

1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, ... - (a_n= (-1)ⁿ1/n) - ciąg anharmoniczny

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...(a_n= a_n-1+a_n-2) - ciąg Fibonacciego (zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich).

Można udowodnić, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi

Monotoniczność ciągów

Ponieważ ciągi są funkcjami, rządzą nimi te same prawa. W szczególności ciągi mogą być monotoniczne. I tak:

Ciag liczbowy (a_n) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Przykład? A choćby ciąg tożsamościowy 1, 2, 3, ...

Ciag liczbowy (a_n) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Przykład? Ciąg 1, 2, 2, 3, 3, 3 ... (każda liczba naturalna wypisana tyle razy ile wynosi jej wartość)

Ciag liczbowy (a_n) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Przykład? 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... (wspomniany ciąg harmoniczny)

Ciag liczbowy (a_n) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Przykład? 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -3, -3, -3, -4, -4, -4, -4 ...

Ograniczoność ciągów

Ciągi są jak ludzie. Mogą być ograniczone. Z góry, z dołu oraz i z góry i z dołu. Cóż to znaczy?

Ciag liczbowy (a_n) nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Na przykład ograniczony z góry jest ciąg harmoniczny. Wystarczy obrać C = 1.

Ciag liczbowy (a_n) nazywamy ograniczonym z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Na przykład ograniczony z góry jest ciąg tożsamościowy. Wystarczy obrać c = 0.

Ciag liczbowy (a_n) nazywamy ograniczonym (domyślnie z góry i z dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

A choćby ciąg 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... jest ograniczony (z góry i z dołu). Wystarczy obrać M = 1.

Zbieżność ciągu liczbowego do granicy

Mówimy, ze ciąg liczbowy (a_n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista g taka, że

Liczbę g nazywamy granicą ciagu (a_n). Innymi słowy granica ciągu jest to wartość, dowolnie blisko której leżą prawie wszystkie (poza skończoną liczbą) wyrazy ciągu.

Zapisujemy to symbolicznie:

Przykłady:

Własności granic

Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony posiada granicę. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji tak zwanego aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych. Z granicami ciągów wiąże się kilka ważnych twierdzeń.

Twierdzenie 1. Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę taki ciąg (nazywany jest zbieżnym).

Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Nie oznacza to wcale, że każdy ciąg ograniczony jest zbieżny. Na przykład ciąg (a_n) = (-1)ⁿ jest ograniczony ale nie jest zbieżny.

Twierdzenie 3. Każdy ograniczony i monotoniczny ciąg jest zbieżny.

Twierdzenie 4. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy co ciąg.

Twierdzenie 5. Ciąg (a_n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy spełnia warunek Cauchy’ego.

Warunek Cauchy'ego:

Te z pozoru niezrozumiałe krzaki oznaczają iż dla dowolnie małej liczby istnieje taki wyraz ciągu, że różnica kolejnych wyrazów jest mniejsza od tej liczby.

Jeśli dwa ciągi (a_n), (b_n) są ciągami zbieżnymi i oraz , to wykonalne są działania:

   przy założeniu, że b, b_n ≠ 0

Granice niewłaściwe

Niektóre ciągi liczb rzeczywistych mają własność, iż ich wyrazy "skupiają się wokół punktu w nieskończoności", tj. wraz ze wzrostem indeksów wyrazów ciągu, zwiększają się (albo zmniejszają) prawie wszystkie jego wartości. Mówimy wówczas, że ciąg taki jest zbieżny do granicy niewłaściwej. Formalnie, mówimy że ciąg (a_n)

ma granicę niewłaściwą w +∞ gdy:

granicę niewłaściwą w -∞ gdy

Ciąg rozbieżny

Ciąg rozbieżny to taki ciąg, który nie posiada granicy - ani właściwej ani niewłaściwej. Przykładem takiego ciągu jest a_n=(-1)ⁿ.

Sposoby obliczania granic ciągów

Na kamienistej drodze edukacji przyjdzie nam potknąć się nieraz o zadania polegające na policzeniu granicy ciągu. Dlatego zamieszczam poniżej kilka przykładów z rozwiązaniami.

Przykład 1. Obliczyć granicę ciągu:

Podstawiając metodą "naiwną" za n coraz większe liczby otrzymujemy wydaje się, że suma jest coraz większa. Ale jak to wykazać czarno na białym? Wyciągnijmy przed nawias n_⁴. Otrzymamy wówczas:

Oczywiście teraz widać jak na dłoni, że granicą tego ciągu jest + ∞ (wyrażenia z n w nawiasie dążą do zera).

Przykład 2. Obliczyć granicę ciągu:

Sytuacja wydaje się kiepska, bowiem i licznik i mianownik dążą do + ∞. Co zatem? Ano podzielmy licznik i mianownik ułamka przez n_⁴. Otrzymujemy:

Licznik ułamka dąży do 1 (dlaczego?), a mianownik (z tego samego powodu) do 2. Zatem granicą ciągu jest 1/2.

Przykład 3. Obliczyć granicę ciągu:

Tu z kolei znowu licznik i mianownik dążą do + ∞. Podzielmy oba zatem przez 5_ⁿ. Otrzymujemy:

Licznik ułamka dąży do 1, a mianownik do + ∞ . W związku z tym granicą jest 0.

Przykład 4. Obliczyć granicę ciągu:

Tu już intuicja zawodzi. Skoro pierwszy składnik sumy dąży do + ∞ a drugi (po namyśle) też, to do czego dąży różnica? Do zera? Ano policzmy. Różnicę pierwiastków można zapisać w postaci ułamka:

Teraz pomnóżmy licznik i mianownik przez sumę pierwiastków. Po uproszczeniu licznika otrzymujemy:

Dzieląc licznik i mianownik ułamka przez n mamy:

i wreszcie:

Twierdzenie o trzech ciągach

Niech (a_n), (b_n), (c_n) będa ciągami liczbowymi takimi, że:

oraz a_n ≤ b_n ≤ c_n dla pewnego k ∈ N.

wówczas ciąg liczbowy (b_n) jest zbieżny oraz

"Żartobliwie o twierdzeniu o trzech ciągach mówi się "twierdzenie o milicjantach". Sformułowane zostało podczas stanu wojennego w Polsce. Brzmi ono następująco: jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam trafisz...

Twierdzenie o trzech ciągach pozwala nam obliczyć na przykład granicę ciągu:

.

Otóż zauważmy, że

zatem:

Wobec tego są spełnione założenia twierdzenia o trzech ciągach oraz granice obydwu "skrajnych" ciągów wynoszą 5, to

Bez pomocy tego twierdzenia mielibyśmy nieliche kłopoty.

Ciąg arytmetyczny

Pewnym szczególnym (nazwijmy go brrr. szkolnym) przypadkiem ciągu jest ciąg arytmetyczny. Jest to ciąg liczbowy, w którym różnica dwóch sąsiednich wyrazów jest stała. Stała ta nazywaną jest różnicą ciągu. Oczywiście najprostszym przykładem takiego ciągu jest nasz poczciwy ciąg tożsamościowy, bo jak łatwo zgadnąć różnica dwóch sąsiednich wyrazów tego ciągu jest = 1. Ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (różnica wynosi 2), natomiast ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (dlaczego?). Oficjalna definicja ciągu arytmetycznego brzmi:

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby r (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi:

można to ująć inaczej, (a_n) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy gdy:

Łatwo wykazać, że ciąg arytmetyczny o różnicy r ma następujący wzór ogólny:

a także:

Ciąg arytmetyczny jest zawsze ciągiem monotoniczmym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, powstaje z przemnożenia poprzedniego przez pewną stałą liczbę różną od zera, którą nazywamy ilorazem ciągu. Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich. Ciąg geometryczny nazywany jest czasem postępem geometrycznym. Oficjalna definicja ciągu arytmetycznego brzmi:

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeśli dla pewnej liczby q ≠ 0 (nazywanej ilorazem ciągu) zachodzi warunek:

Przykład: Ciąg: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 2. Ciąg: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 1/2. Także ciąg: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = -1.

Łatwo wykazać, że ciąg geometryczny o ilorazie q ma następujący wzór ogólny:

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego:

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. Jeśli iloraz jest dodatni, ciąg geometryczny jest rosnący gdy q > 1, zaś malejący gdy q < 1.

Na koniec podam kilka przydatnych granic ciągów.

GÓRA         SZKOŁA