Geometria analityczna

Geometria analityczna to dział geometrii zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych metodami analitycznymi i algebraicznymi. Zamiast rozważać geometryczne aspekty figur rozwiązujemy układów równań, które opisują dane figury. Geometria analityczna bada przestrzeń euklidesową (czyli taką naszą, swojską, ale niekoniecznie trójwymiarową) i własności jej podzbiorów. Geometria analityczna stworzona została w XIX wieku przez matematyka szwajcarskiego René Descartesa i francuskiego Pierre'a de Fermata.

René Descartes	Pierre de Fermat

Twórcy podstaw geometrii analitycznej

A oto podstawowe pojęcia geometrii analitycznej:

Prostokątny układ współrzędnych

Przez dowolny punkt (nazwiemy go punkt O) na płaszczyźnie poprowadźmy dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe. Układ tak zbudowanych osi nazywamy układem współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie. Punkt ich przecięcia O nazywamy początkiem układu współrzędnych, a osie nazywamy osiami współrzędnych. Oś poziomą OX nazywamy osią odciętych, oś pionową OY nazywamy osią rzędnych. Inną nazwą prostokątnego układ współrzędnych jest układ kartezjański (od Kartezjusza, prekursora geometrii analitycznej. W przestrzeni układ kartezjański tworzą zamiast dwóch, trzy proste prostopadłe, w czterech i więcej wymiarach (nie)można sobie wyobrazić, że jest ich odpowiednio więcej. Osie dzielą płaszczyznę na cztery części zwane ćwiartkami: I, II, III, IV.

Prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych

Współrzędne punktu na płaszczyźnie

Każdemu punktowi P na płaszczyźnie możemy przyporządkować jednoznacznie parę liczb (x, y), które nazywamy współrzędnymi. Aby określić współrzędne punktu na płaszczyźnie znajdujemy rzuty prostopadłe punktu P odpowiednio na osie OX i OY i odczytujemy liczby x i y, które tym rzutom odpowiadają. Para (x, y) jest parą uporządkowaną, jako pierwszą wyróżniamy oś OX, a jako drugą oś OY. Oczywiście przyporządkowanie między punktami płaszczyzny i parami liczb (x, y) jest wzajemnie jednoznaczne. Punkt P o współrzędnych x i y zapisujemy P(x, y).

Odcinek
Długość odcinka o końcach w punktach:

wynosi:

zaś, jak łatwo obliczyć, współrzędne środka odcinka AB to:

Wektor

Wektor to uporządkowana para punktów. Pierwszy z nich nazywamy początkiem drugi końcem wektora. Wektor posiada zwrot, kierunek i wartość. Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na której leży wektor. Zwrot wektora określa nam jego początek i koniec. Wektor, którego początkiem i końcem jest ten sam punkt nazywamy wektorem zerowym. Wartość wektora to po prostu jego długość. Wektor wyznaczają jego współrzędne, zapisujemy je v = [A,B]. Współrzędnymi wektora nazywamy miary rzutów wektora v na osie prostokątnego układu współrzędnych, względem tych osi. Ponieważ rachunek wektorowy stanowi pokaźny dział geometrii analitycznej nie będę tu szczegółowo go omawiał.

Prosta na płaszczyźnie

Pojęcie linii prostej jest intuicyjnie jasne, w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest pojęciem pierwotnym, czyli takim, którego się nie definiuje. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. W geometri analitycznej prostą określamy jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różnej postaci.

Równanie kierunkowe prostej

Jeśli prosta nie jest równoległa do osi OY, to równanie prostej można zapisać w tak zwanej postaci kierunkowej y = mx + b, gdzie m i b to liczby rzeczywiste. Parametr m nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, ponieważ od niego zależy kąt nachylenia prostej do osi OX. Parametr b, nazywany wyrazem wolnym, to rzędna punktu, w którym prosta przecina oś OY.

Równanie ogólne prostej

W prostokątnym układzie współrzędnych weźmy pod uwagę punkt P(x₁, y₁) i wektor niezerowy v = [A,B]. Ponieważ wektor ten jest niezerowy, więc jego współrzędne A i B nie mogą jednocześnie być równe zeru. Istnieje jedna i tylko jedna prosta l przechodząca przez punkt P i prostopadła do wektora v określona równaniem: Ax + By + C = 0.

Dla A, B, C ∈ R, przy czym A i B nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność: Ax + By + C = 0. Liczby A, B, C nazywamy współczynnikami liczbowymi równania prostej.

Kąt między prostymi

Kątem między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów.

Niech będą dane dwie proste k: y = m₁x + k₁ i l: y = m₂x + k₂.

Z rysunku otrzymujemy α + φ = β stad φ = β - α

Dwie proste k, l o równaniach kierunkowych k: y = m₁x + k₁i l: y = m₂x + k₂ są
równoległe, gdy m₁= m₂
prostopadłe, gdy m₁m₂= -1

Dwie proste k, l o równaniach ogólnych k: A₁x + B₁y + C₁ = 0 i l: A₂x + B₂y + C₂ = 0 są
równoległe, gdy A₁B₂ - A₂B₁ = 0
prostopadłe, gdy A₁A₂ + B₁B₂ = 0

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu P(x₀, y₀) od prostej o równaniu ogólnym: Ax + By + C = 0, dana jest wzorem:

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie O(a, b) i promieniu r ma postać:

GÓRA         SZKOŁA