..:: FIZYKA ::..

Praca i energia

Część V
Zasada zachowania energii

Wprowadzenie

Nie będzie należało do przesadnych stwierdzenie, że zasada zachowania energii należy do najważniejszych zasad w fizyce i jako taka nie została jeszcze podważona. Przyjrzyjmy się zatem podstawowemu jej zrozumieniu. Wyjaśnienie oprzemy na poznanym pojęciu całkowitej energii mechanicznej.

Zanim przejdziemy do wyjaśnień wprowadźmy pewne uściślenie:

• to o czym powiemy będzie się działo w układzie, do którego z zewnątrz nie może dopłynąć żadna postać energii, nie może też z tego układu energia odpłynąć.

Załóżmy, że wszystko jest jasne. Natomiast sposób w jaki układ może wymienić się energią z otoczeniem oraz czym jest ten układ wyjaśnimy w trakcie omawiania konkretnej sytuacji.

Zasada zachowania energii na podstawie przykładu

Znajdujemy się na ziemi na wysokości i kulę o masie wyrzucamy pionowo do góry z pewną prędkością o wartości . Prześledźmy sytuację do momentu, kiedy wyrzucona kula po osiągnięciu maksymalnej wysokość spada na ziemię ponownie na wysokość .

Naszym rozpatrywanym układem jest ziemia i kula, które oddziałują ze sobą grawitacyjnie. Zakładamy, że nie ma wymiany energii układu z otoczeniem czyli kula porusza się bez tarcia (opory powietrza) przez co nie traci jej na skutek wydzielania się ciepła.

Jaką będzie miała prędkość w momencie uderzenia o ziemię?
Co możemy powiedzieć o energiach kuli (potencjalnej i kinetycznej) w kolejnych krańcowych etapach lotu?

Co do wartości prędkości rzecz jest prosta. Po wyrzuceniu pionowo do góry szybkość kuli maleje do zera na wysokości ponieważ kula porusza się z opóźnieniem grawitacyjnym . Następnie kula zaczyna się poruszać w przeciwną stronę z przyspieszeniem . Opóźnienie i przyspieszenie mają tą samą wartość, więc kula w momencie upadku posiada szybkość dokładnie taką jak na starcie czyli . Inny jest tylko zwrot tej prędkości.

Energia kinetyczna kuli w momencie startu i upadku jest dokładnie taka sama: . Ponieważ na powierzchni ziemi wysokość wynosi zero, to i energia potencjalna tutaj wynosi zero:

Na maksymalnej wysokości prędkość kuli zmalała do zera , czyli tam do góry jej energia kinetyczna osiągnęła wartość równą zeru ale jej energia potencjalna wyniosła tyle ile możemy wyliczyć ze wzoru: .

Możemy śmiało powiedzieć, że na dole całkowita energia mechaniczna była równa energii kinetycznej a na górze energii potencjalnej. Czyli nie zmieniając całkowitej ilości energia kinetyczna w całości przekształciła się w potencjalną na wysokości . Następnie w drugim etapie energia potencjalna z powrotem w całości przekształciła się w kinetyczną.

Dla części cyklu tylko z dołu do góry możemy zapisać równanie:

Ponieważ zarówno jak to równanie możemy zapisać w postaci

czyli

i ostatecznie dla tego przypadku:

Zgodnie z zasadą zachowania energia kinetyczna na dole całkowicie zamieniła się w potencjalną u góry. Analogiczne rozumowanie można by przeprowadzić teraz w kierunku z góry do dołu.

Zasada zachowania energii postać ogólna i rozwinięcie

Teraz przyjrzymy się nieco inaczej naszej zasadzie. Wyjdziemy z takiego woru gdzie dla całkowitej energii mechanicznej zasada zachowania energii przyjmuje niesamowicie prostą postać. Możemy ją zapisać za pomocą wzoru:

gdzie to najzwyklejsza zmiana energii. Prawda, że urocze.

Wyjaśnijmy w takim razie co zapisaliśmy, albo inaczej jak powinniśmy interpretować tą krótką formułę.

Jeżeli obserwujemy układ odizolowany od otoczenia czyli taki, w którym nie zachodzi wymiana energii z otoczeniem to całkowita energia układu nie ulega zmianie – jej zmiana jest równa zero.

I to by było na tyle gdyby nie fakt, że można to zdanie rozwinąć. Zaczynamy.

Wiemy, że całkowita energia mechaniczna jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej co zapisujemy jako . Zatem możemy powiedzieć, że zmiana całkowitej energii mechanicznej będzie równa sumie zmian energii kinetycznej i potencjalnej czyli:

Ponieważ według naszej zasady zmiana mechanicznej energii całkowitej jest równa zeru to powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

Rzecz powoli zaczyna przyjmować sensowny kształt. Spójrzmy. Każda zmiana musi w sobie zawierać wartość początkową i końcową. To znaczy, że jeśli ciało ma energii i wrośnie ona do wartości to zmiana wyniesie czyli . W takim razie zmiany energii kinetycznej i potencjalnej w powyższym wzorze możemy odpowiednio rozpisać:

Kolejne działanie będzie już tylko polegało na pogrupowaniu wyrazów i przeniesieniu na drugą stronę równania, tak by wartości początkowe (te z 1) i końcowe (te z 2) stały po przeciwnych stronach znaku równości.

Równanie to pokazuje, że jeśli układ miał na początku jakąś energię kinetyczną i potencjalną (te z 1), to po pewnym czasie może mieć inne energie kinetyczną i potencjalną (te z 2) tyle, że sumy energii początkowych i tych końcowych muszą być sobie równe.

Ostatecznie jeśli teraz zapiszemy nasze ostatnie równanie przy pomocy odpowiednich wzorów na energie kinetyczne i potencjalne otrzymamy formułę, którą już raz w całości zapisaliśmy wcześniej na tej stronie, czyli:

Wynika z tego, że taką samą postać zasady zachowania energii mechanicznej wyprowadziliśmy najpierw z analizy konkretnego przykładu z wyrzucaną kulą a następnie z zasady zapisanej w najkrótszej postaci mówiącej, że całkowita energia układu odizolowanego nie ulega zmianie (może się tylko przekształcać z jednej postaci w drugą).

Koniec części V

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z odpowiedniego
forum PRACA I ENERGIA

GÓRA         SZKOŁA