..:: FIZYKA ::..

Praca i energia

Część IV
Energia kinetyczna

Wprowadzenie

Energia kinetyczna jest ewidentnie związana z prędkością z jaką porusza się ciało oraz z jego masą . Łatwo to zobrazować przedstawiając taką sytuację.

Wypełniony po brzegi samochód ciężarowy i lecący ptak poruszają się z taką samą prędkością. Zderzają się z przeszkodami na swojej drodze. Skutki którego zderzenia będą powalające a którego niezauważalne. Gdzie siły niszczycielskie wykonają większą pracę.

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla różnych prędkości poruszających się pojazdów o tej samej masie.

Analiza sytuacji wyjściowej poprzedzającej wyprowadzenie

W tym temacie postaramy się wyprowadzić wzór, według którego będziemy mogli obliczyć energię kinetyczną ciała. Oczywiście podobnie jak w przypadku wyprowadzenia wzoru na energię potencjalną , również tutaj posłużymy się zależnością jaka istnieje między pracą a zmianą całkowitej energii mechanicznej czyli:

gdzie jest zmianą energii kinetycznej; a jest zmianą energii potencjalnej.

Przyjrzyjmy się sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej.

Widzimy, że samochód porusza się po linii prostej. Nie wznosi się ani nie opada, czyli jego energia potencjalna nie ulega zmianie; jej zmiana jest równa zeru . Widzimy również, że na samochód działa siła wypadkowa (utworzona już ze wszystkich działających sił). Ma ona kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem przemieszczenia . Dzięki tej sile samochód porusza się ze stałym przyspieszeniem zwiększając prędkość samochodu od wartości do wartości . Wszystko to dzieje się oczywiście w określonym czasie na drodze będącej długością przemieszczenia . Jeśli prędkość samochodu wzrasta znaczy, że wzrasta jego energia kinetyczna . Przejdźmy zatem do jej wyprowadzenia.

Wyprowadzenie wzoru na energię kinetyczną

Jeśli energia potencjalna nie zmienia się (droga się nie wznosi i nie opada) cała praca wykonana przez siłę wypadkową zostaje przekształcona w zmianę energii kinetycznej .

czyli

Ponieważ siła działa wzdłuż kierunku przemieszczenia (możemy zrezygnować z zapisu wektorowego) definicja pracy przyjmuje najprostszą postać:

Teraz dokonamy szeregu podstawień i przekształceń tak by ostatni powyżej wzór na pracę móc wyrazić poprzez prędkości początkową i końcową samochodu oraz jego masę .

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że ciało o masie poddane działaniu siły wypadkowej będzie przyspieszać, co możemy zapisać tak: .

Teraz ostatni wzór możemy podstawić w odpowiednie miejsce do tego na pracę i otrzymamy:

We wzorze tym mamy po prawej stronie iloczyn trzech wielkości przyspieszenia ; masy oraz wartości dokonanego podczas ruchu przemieszczenia . Zobaczmy co uzyskamy jeśli skorzystamy z równania na drogę dla ruchu z jednostajnym przyspieszeniem. Przypomnijmy, że równanie to ma postać: . Po odpowiednim podstawieniu wzór na pracę zaczyna straszyć :)

To jeszcze nie koniec. Ponieważ chcemy wyrazić pracę a zarazem zmianę energii kinetycznej poprzez masę i prędkości będziemy musieli w odpowiednie miejsca w ostatnim równaniu podstawić definicję wartości przyspieszenia: . Po podstawieniu wzór na pracę staje się prawdziwym monstrum :)

Teraz go trochę uporządkujemy. Najpierw likwidujemy ułamek piętrowy przez skrócenie z w ostatnim wyrazie:

Następnie sprowadzamy wyrazy w dużym nawiasie do wspólnego mianownika a mały nawias wymnażamy przez :

Dodajemy do siebie dwa ułamki w dużym nawiasie:

Wyciągamy przed mały nawias:

Ponieważ między poszczególnymi wyrazami i nawiasami mamy działania mnożenia i dzielenia możemy skrócić czas zmienić kolejność wyrazów i zapisać wszystko w postaci jednego ułamka:

Teraz wymnażamy wszystkie wyrazy w nawiasach:

Następnie redukujemy wyrazy podobne:

Prędkości i w nawiasach wymnażamy przez masę i zapisujemy wynik w postaci rozdzielonych ułamków:

Wszystkie dokonane przekształcenia wykonaliśmy dlatego, by uzyskać wzór na pracę wyrażony przy pomocy prędkości końcowej i początkowej oraz masy naszego samochodu.

Wróćmy teraz do naszego problemu. Siła wypadkowa wykonała pracę równoważną zmianie energii kinetycznej co zapisaliśmy w postaci równania dodatkowo rozwiniętego tu o ostatni wyraz:

Jeśli ze względu na równość lewych stron porównamy teraz dwa ostatnie równania prawymi stronami uzyskamy wyrażenie:

Wyraźnie widzimy, gdy samochód znajdował się na początku ruchu miał energię kinetyczną daną wzorem a po przebyciu drogi wraz z prędkością jego energia kinetyczna wzrosła do wartości którą możemy obliczyć ze wzoru.

Wynika stąd, że ogólny wzór na energię kinetyczną dla ciała o masie poruszającego się z prędkością możemy zapisać w postaci:

Koniec części IV

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z odpowiedniego
forum PRACA I ENERGIA

GÓRA         SZKOŁA