..:: FIZYKA ::..

Drgania i fale

Część II
Ruch harmoniczny, przemiany energii

Wprowadzenie

Zazwyczaj kiedy obserwujemy rzeczywisty ruch drgający zauważamy, że po pewnym czasie gaśnie. Można stworzyć całą piękną fizykę przyczyn takiego stanu rzeczy. Tutaj powiemy tylko, że odpowiedzialne są za to opory ruchu.

Gdyby udało się nam zlikwidować wszelkie przyczyny oporów, wówczas byśmy otrzymali drgania zwane harmonicznymi. Cechy takiego ruchu oraz wielkości go opisujące omówiliśmy w poprzednim temacie. Ciało, które wykonuje ruchy harmoniczne nazywamy oscylatorem harmonicznym.

Teraz zajmiemy się przemianami energii jakie zachodzą w przypadku ruchu harmonicznego. Przydatna będzie do tego wiedza zdobyta podczas omawiania zasady zachowania energii w dziale Praca i energia oraz podczas opisu zagadnień związanych z rozciąganiem sprężyny w dziale Dynamika.

Siła zewnętrzna oraz siła sprężystości w ruchu harmonicznym

Załóżmy, że mamy pewne ciało przymocowane do sprężyny, które wykonuje drgania. Nasz układ ciało-sprżyna pracuje w płaszczyźnie poziomej, co pozwala nie brać pod uwagę zmian energii potencjalnej w polu grawitacyjnym (ponieważ zmiany takie nie zachodzą, gdy wszystko dzieje się na tej samej wysokości). Dodatkowo ciało porusza się po idealnie gładkiej powierzchni czyli bez tarcia. Powoduje to, że nie ma strat energii w postaci wydzielania się ciepła, czyli nasz układ nie wymienia energii z otoczeniem i wykonuje drgania harmoniczne.

Zanim układ zacznie drgać musimy go wychylić z położenia równowagi. Do tego celu przykładamy siłę zewnętrzną i ściskamy lub rozciągamy sprężynę. Zgodnie z III zasadą dynamiki jeśli ciało, poprzez siłę zewnętrzną , działa w kierunku poziomym na sprężynę, to sprężyna działa na ciało siłą swojej sprężystości również w kierunku poziomym ale z przeciwnym zwrotem. Obie siły są takie same co do wartości. Dodatkowo, rozciągając sprężynę dokonujemy tego używając coraz większej siły. Możemy zapisać, że wartość siły zewnętrznej jest proporcjonalna do wydłużenia bądź ściśnięcia: . To samo z racji równości tyczy się również siły sprężystości: (bezwzględna wartość pojawia się dlatego, że wychylenie z położenia równowagi możemy dokonać w dodatnim lub ujemnym kierunku osi). Jeśli wartość sił wzajemnego oddziaływania rośnie proporcjonalnie wraz z wydłużeniem (lub ściśnięciem) i maleje podczas powrotu do położenia równowagi, również przyspieszenie w tak dokonywanym ruchu nie jest stałe. Prędkość ciała w ruchu drgającym nie zmienia się jednostajnie.

Dodatkowo zauważmy, że siła nacisku na podłoże jest równoważona przez siłę sprężystości podłoża. Obie te siły działają w kierunku pionowym i jako równoważące się nie są brane pod uwagę (dlatego nie zaznaczyliśmy tych sił na rysunku).

Przemiany energii w ruchu harmonicznym

Wiemy jak obliczyć energię potencjalną ciała w polu grawitacyjnym, gdy przenosimy je na pewną wysokość, używając stałej siły zrównoważonej z siłą ciężkości (ruchem bez przyspieszenia).

Wiemy jak obliczyć energię kinetyczną ciała poddanego działaniu stałej siły wypadkowej (ruchem z przyspieszeniem).

Jak w takim razie obliczyć energię potencjalną sprężystości , gdy siła ciągle ulega zmianie?
Jak wyznaczyć energię kinetyczną w takim ruchu?

Zobaczmy. Poniżej przedstawiamy wykres zależności między wartością przyłożonej do ciała siły zewnętrznej a jego wychyleniem w stosunku do położenia równowagi. Za pierwszym razem zanim układ zacznie drgać musimy wykonać nad nim pracę w celu jego rozciągnięcia lub ściśnięcia.

Pole powierzchni zakreślonej pod wykresem jest równe wartości wykonanej pracy. Znaczy to, że z interpretacji wykresu możemy zapisać wzór na pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną:

Siłę zewnętrzną możemy wyrazić znanym nam wzorem . Po podstawieniu do ostatniej równości na pracę otrzymujemy:

Energia kinetyczna jest związana z prędkością ciała (rozpędzone ciało może zgnieść lub rozciągnąć sprężynę) a potencjalna sprężystości z pewnym stanem ciała wskazującym na gotowość wykonania pracy (na przykład z gotowością do rozpędzenia ciała). W przypadku gdy nasz układ rozciągniemy lub ściśniemy wychylając go z położenia równowagi o wówczas poprzez wykonanie pracy przez siłę zewnętrzną gromadzimy w nim energię potencjalną sprężystości:

Jeśli przy pomocy siły zewnętrznej wychylimy ciało zamocowane do sprężyny na odległość równą amplitudzie z jaką układ będzie miał drgać, to wykonana praca będzie równa całkowitej energii mechanicznej układu czyli:

Nasz kład, czyli oscylator harmoniczny wykonując drgania, zgodnie z zasadą zachowania energii przekształca cyklicznie energię potencjalną w kinetyczną i z powrotem w potencjalną. Przekształca w taki sposób, że całkowita energia układu nie ulega zmianie. Znaczy to, że energię kinetyczną możemy wyznaczyć jako różnicę między całkowitą energią mechaniczną a energią potencjalna sprężystości co możemy zapisać w postaci równania:

Czyli po wystawieniu odpowiednich wielkości w prawej stronie równania przed nawias otrzymujemy:

Przyglądając się ostatniemu równaniu widzimy wyraźnie, że gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi (gdzie ) jego energia kinetyczna wynosi a potencjalna sprężystości musi być równa zero .

Koniec części II

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z odpowiedniego
forum DRGANIA I FALE

GÓRA         SZKOŁA