..:: FIZYKA ::..

Drgania i fale

Część III
Izochronizm drgań wahadła

Wprowadzenie

Tym razem zaczniemy nieco inaczej. Jako ciekawostkę przytoczymy fragment tekstu z podręcznika: „Fizyka i astronomia dla każdego” pod redakcją Barbary Sagnowskiej, Kraków 2008, strona 129.

Galileusz podobno odkrył izochronizm wahadła podczas mszy w katedrze w Pizie. Obserwował wtedy gasnące wahnięcia dużego świecznika, który był zawieszony u sufitu. Amplitudy kolejnych wahnięć stawały się coraz mniejsze, więc Galileusz zaczął zastanawiać się, czy również czas każdego wahnięcia się zmniejsza. Z braku zegarka do pomiaru czasu użył własnego pulsu. Zauważył, że czas trwania każdego wahnięcia, pomimo zmniejszania się wychylenia, pozostaje taki sam. Wykorzystał swe obserwacje z katedry, skonstruował przyrząd medyczny do mierzenia tętna. Był to niewielki ciężarek, zawieszony na łańcuszku.

Faktycznie jeśli zawiesimy ciężarek na nici i wyznaczymy ile wynosi okres jednego pełnego drgania, to w granicach niepewności pomiarowych uzyskamy porównywalne wyniki dla różnych wychyleń tego samego wahadła. Ważne jest by wychylenia były stosunkowo niewielkie.

W celu dokonania odpowiednio dokładnych pomiarów możemy postarać się by nić była stosunkowo cienka, długa i dobrze zamocowana a ciężarek w miarę masywny. Dodatkowo można zmierzyć czas trwania kilku np. - drgań i wyznaczyć okres na podstawie znanego nam wzoru:

Tak by postąpili fizycy doświadczalni projektując odpowiednie doświadczenie, zbierając dane a następnie analizując je oraz porównując. Sposobem przeprowadzania i analizowania tego typu doświadczeń zajmiemy się w innym miejscu w przyszłości.

Jednym zdaniem można powiedzieć: izochronizm wahnięć świadczy o tym, że dla niewielkich wychyleń okres drgań wahadła jest niezależny od amplitudy.

Okres drgań wahadła matematycznego

Jeśli fizyka jest nauką ścisłą, powinno się dać wyciągnąć na gruncie matematycznej analizy problemu podobny wniosek, do tego jaki uzyskał Galileusz. Rzecz o tyle skomplikowana, że choć sama sytuacja wydaje się być łatwa do wyobrażenia to opis zawiera w sobie elementy z różnych działów fizyki i matematyki.

Dlatego dzisiaj tylko wspomnimy jakimi zagadnieniami powinniśmy się podeprzeć przy analizie tego problemu:

1. Rozkładanie dowolnego wektora na składowe wzdłuż kierunku X i Y (konieczna znajomość podstaw z funkcji trygonometrycznych)
2. Sprawne posługiwanie się podstawowymi zależnościami występującymi w opisie ruchu po okręgu (szybkość kątowa a szybkość liniowa oraz przyspieszenie dośrodkowe).
3. Znajomość II zasady dynamiki Newtona.
4. Zauważanie podobieństwa drgań harmonicznych masy przymocowanej do sprężyny z drganiami wahadła matematycznego (na przykład ze względu na działające w tych układach siły).

Nie jest tego zbyt wiele, jednak na poziomie ogólnym podstawowym (słabo łapiemy funkcje trygonometryczne, co w połączeniu z ruchem po okręgu stawia barierę) nie ugryziemy tego problemu. Zrobimy to kiedy indziej, w wolnym czasie jak rozwiniemy zagadnienia dla akrobatów.

Teraz natomiast podamy zależność, dzięki której zobaczymy od czego zależy okres drgań masy zawieszonej na nici dla małych wychyleń:

gdzie to okres drgań wahadła, to wielkość stała (3,14 – w rozwinięciu do dwóch z nieskończonej ilości miejsc po przecinku :), to długość wahadła, to stała przyspieszenia grawitacyjnego .

Wyraźnie widać, że okres drgań zależy tylko od długości wahadła. Nigdzie w tym wzorze nie ma wychylenia. Należy tylko wiedzieć, że taki wzór został wyprowadzony dla małych wychyleń z położenia równowagi.

Koniec części III

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z odpowiedniego
forum DRGANIA I FALE

GÓRA         SZKOŁA